(a1i+a2j+a3k)←→a=(a1,a2,a3)

　(a,b)=a1b1+a2b2+a3b3

　axb=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)

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四元数の応用として、ラグランジュの恒等式を証明することができる。

[1](a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)=(a1b1+a2b2)^2+(a1b2-a2b1)^2

[2](a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)=(a1b1+a2b2+a3b3)^2+(a1b2-a2b1)^2+(a1b3-a3b1)^2+(a2b3-a3b2)^2

[3](a1^2+a2^2+a3^2+a4^2)(b1^2+b2^2+b3^2+b4^2)=(a1b1+a2b2+a3b3+a4b4)^2+(a1b2-a2b1)^2+(a1b3-a3b1)^2+(a1b4-a4b1)^2+(a2b3-a3b2)^2+(a2b4-a4b2)^2+(a3b4-a4b3)^2

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