フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2は簡単に確認できます．この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も平方数で表されることを示していて，複素数と２平方和問題

［補］２平方和定理（フェルマー・オイラーの定理）

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝ｐ^2＋ｑ^2

　　ｐ＝ａｃ−ｂｄ，ｑ＝ａｄ＋ｂｃ

との関連を示しています．

　また，４平方和問題

　　（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）（ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2＋ｓ^2）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2は

ｘ＝ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ＋ｄｓ，

ｙ＝ａｑ−ｂｐ＋ｃｓ−ｄｒ，

ｚ＝ａｒ−ｂｓ−ｃｐ＋ｄｑ，

ｗ＝ａｓ＋ｂｒ−ｃｑ−ｄｐ

とおくと成り立ち，４つの平方数の和となっている数は積の演算で閉じていることを示しています．

［補］４平方和定理（オイラー・ラグランジュの定理）

　任意の自然数は４つの平方数の和の形に表せる．

　しかし，３平方和問題

　　（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）＝ｕ^2＋ｖ^2＋ｗ^2

は２平方和，４平方和の場合のようなわけにはいきません．３平方和の積が必ずしも３平方和とならないからです．

　たとえば，（ａ，ｂ，ｃ），（ｘ，ｙ，ｚ）が整数なら（ｕ，ｖ，ｗ）も整数であるが（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，１），（ｘ，ｙ，ｚ）＝（０，１，２）のとき

　　（１^2＋１^2＋１^2）（０^2＋１^2＋２^2）＝１５≠ｕ^2＋ｖ^2＋ｗ^2

（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，１），（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，２，４）のとき

　　（１^2＋１^2＋１^2）（１^2＋２^2＋４^2）＝６３≠ｕ^2＋ｖ^2＋ｗ^2

は成立しない．

［補］３平方和定理

　「８ｎ＋７の形の数は３個の平方数の和では表されない」からである．

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　｜ａ｜・｜ｂ｜＝｜ｃ｜，すなわち

（ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2）（ｂ1^2＋ｂ2^2＋・・・＋ｂn^2）＝（ｃ1^2＋ｃ2^2＋・・・＋ｃn^2）

の恒等式はｎ＝１，２，４，８に対してだけ満たされるという驚くべき結果が１９世紀末，フルヴィッツにより証明されています（１８９８年）．したがって，ある条件のもとで，数の体系は八元数までですべてであることが知られていて，数の系列は実数（一元数）→複素数（二元数：ガウス）→四元数（ハミルトン）→八元数（ケイリー）というようになっているのです．

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