ｎ乗して初めて１になる複素数を１の原始ｎ乗根という．

　　ζ＝ｃｏｓ（２π／１７）＋ｉｓｉｎ（２π／１７）

　　ζk＝ｃｏｓ（２ｋπ／１７）＋ｉｓｉｎ（２ｋπ／１７）

とおくと，ｋはｎと共通因子をもたないｎより小さい正の整数で，ｎが素数ならば

　　ｋ＝１，２，３，・・・，ｎ−１

をとることができる．

　そこで，たとえばφ＝ζ3とおくと

　　φ^2＝ζ9，φ^3＝ζ10，φ^4＝ζ13，φ^5＝ζ5，φ^6＝ζ15

　　φ^7＝ζ11，φ^8＝ζ16，φ^9＝ζ14，φ^10＝ζ5，φ^11＝ζ7

　　φ^12＝ζ4，φ^13＝ζ12，φ^14＝ζ2，φ^15＝ζ6，φ^16＝ζ1

となって，

　　ＡｕｔＱ（ζ）＝｛φ，φ^2，・・・，φ^16｝

となる．

　この例ではζ3が特別な働きをしたが，これは３^n−１が１７で割り切れる最小の正の整数がｎ＝１６であることと関係している．

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→３は法１７に関する原始根である．（１０も法１７に関する原始根である．）

→３は法７に関する原始根である．（５も法７に関する原始根である．）

原始根はいくつあるのだろうか？

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(ｍ、φ(p))＝１の場合、φ(φ（ｐ））個

ｐ＝7の場合、φ(6)=2である。→ｍ＝3と5の2つ

(ｍ、φ(p))＝ｄ＞１の場合、位数がＴ=φ(p)/ｄのものはφ(Ｔ）個

ｐ＝17の場合、φ(16)=4である。

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　３と５は７を法とする原始根であったが、４のベキ乗（ｎ＝７，ａ＝４）の場合を調べてみると

　　４^1＝４，４^2＝２，４^3＝１

この数列の周期は3で、整数４は７を法として位数3をもっているという。ord7(4)=3

それゆえ、４は７を法とする原始根ではない。

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原始根は整数１，２，４，ｐ^k,２・ｐ^kを法としたときに現れる。（ｐは奇素数）

８を法としたときには現れない。原始根をもたない最小の整数は８である。

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１０はｐ＝7,17,19,23,29,47,59,61,97などの原始根である

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