√2+√3を解とする最小多項式は

　x=√2+√3

　x^2=5+2√6

　x^2-5=2√6

　x^4-10x^2+25=24

　x^4-10x^2+1=0

より、x^4-10x^2+1で与えられる。

Q(√2+√3)=Q(√2,√3)でありその拡大次数は4である。

｜Q(√2,√3):Q|=4

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［１］方程式ｘ^2−２＝０

　方程式ｘ^2−２＝（ｘ＋√２）（ｘ−√２）＝０の根√２は有理数体Ｑには含まれない．これを含む最小の数体は２次体

　　Ｑ（√２）＝｛ａ＋ｂ√２｜ａ，ｂは有理数｝

であり，Ｑ（√２）は四則演算で閉じている．

　一般に，２の代わりに平方数でない整数ｄから始めれば，２次体

　　Ｑ（√ｄ）＝｛ａ＋ｂ√ｄ｜ａ，ｂは有理数｝

が得られる．ｄ＞０の場合を実２次体，ｄ＜０の場合を虚２次体という．

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［２］方程式ｘ^4＋１＝０

　ｘ^4＋１は有理数係数の多項式の積に因数分解することはできないが，Ｑ（√２）の数を係数として認めれば，２次式の積に分解される．

　　ｘ^4＋１＝ｘ^4＋２ｘ^2＋１−２ｘ^2＝（ｘ^2＋√２ｘ＋１）（ｘ^2−√２ｘ＋１）

　さらに，２次方程式の根の公式から，

　　ｘ＝（±√２±√（−２））／２

が得られ，ｘ^4＋１は数体Ｑ（√２，√（−２））に係数をもつ１次式の積に完全に分解される．

　たとえば，ひとつの根をα＝（√２＋√（−２））／２とおけば，

　　（±√２＋√（−２））／２・（±√２−√（−２））／２＝１

であるから，４つの根はα，α^-1，−α，−α^1と表される．

　　α＋α^-1＝√２，α−α^-1＝√（−２）

であるから，結局，Ｑ（α）＝Ｑ（√２，√（−２））である．

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［３］方程式ｘ^3−２＝０

　方程式ｘ^3−２＝０の実根を3√２で表すとき，３根は

　　3√２，ω3√２，ω^23√２　　　（ω＝（−１＋√−３）／２）

で表される．

　純３次体

　　Ｑ（3√２）＝｛ａ＋ｂ3√２＋ｃ（3√２）^2｜ａ，ｂは有理数｝

は他の二つの根を含んでいないという点において，Ｑ（√２）やＱ（√２，√（−２））とは異なっている．

　　ｘ^3−２＝（ｘ−3√２）（ｘ^2−3√２ｘ＋（3√２）^2）

を完全に分解するためには，Ｑ（3√２，3√２ω）＝Ｑ（3√２，ω）＝Ｑ（3√２，√（−３））まで係数を広げなければならない．

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［４］方程式ｆ（ｘ）＝ｘ^3−（ｓ−３）ｘ^2−ｓｘ−１＝０

　この方程式の実根をαで表すとき，数体

　　Ｑ（α）＝｛ａ＋ｂα＋ｃα^2｜ａ，ｂは有理数｝

は他の二つの根を含んでいる．

　ｆ（−１／（ｘ＋１））＝（−１／（ｘ＋１））^3ｆ（ｘ）

したがって，ｆ（α）＝０であれば，ｆ（−１／（α＋１））＝０．さらにｘ＝−１／（α＋１）を−１／（ｘ＋１）に代入すれば，ｆ（−（α＋１）／α）＝０．さらにｘ＝−（α＋１）／αを−１／（ｘ＋１）に代入すれば，ｆ（α）＝０に戻るので，Ｑ（α）は巡回３次体と呼ばれる．

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［５］方程式ｆ（ｘ）＝ｘ^3＋ｂｘ＋ｃ＝０

　３次方程式の根の公式より，根を

　　α＝（−ｃ／２＋（（−ｃ／２）^2＋（ｂ／３）^3）^1/2）^1/3＋（−ｃ／２−（（−ｃ／２）^2＋（ｂ／３）^3）^1/2）^1/3

で表す．

　　ｘ^3＋ｂｘ＋ｃ＝（ｘ−α）（ｘ^2＋αｘ＋α^2＋ｂ）

より，他の２根は

　　−α／２±（−（３α^2＋４ｂ）^1/2／２

となる．

　ｆ（ｘ）＝ｘ^3＋ｂｘ＋ｃ＝０に対して

　　Ｄ（ｆ）＝６^2（（−ｃ／２）^2＋（ｂ／３）^3）＝ー（４ｂ^3＋２７ｃ^2）を判別式といい，Ｄ（ｆ）＝０はこの３次方程式が重根をもつための必要十分条件である．また，

　　（（−ｃ／２）^2＋（ｂ／３）^3）｝^1/2

が虚数のとき，ｆ（ｘ）＝０は相異なる３実根をもつが，これはＤ（ｆ）＞０と同値である．

　一般の３次多項式の最小分解体を得るには，２次体

　　Ｑ（（−ｃ／２）^2＋（ｂ／３）^3）^1/2）とＱ（ω）＝Ｑ（√（−３））

が必要になるが，もっと直接的に

　　Ｑ（α，｛−３（（−ｃ／２）^2＋（ｂ／３）^3）｝^1/2）

　−３（（−ｃ／２）^2＋（ｂ／３）^3）＝−（３α^2＋４ｂ）（（３α^2＋ｂ）／６）^2

　｛−３（（−ｃ／２）^2＋（ｂ／３）^3）｝^1/2＝±（３α^2＋ｂ）／６｛−（３α^2＋４ｂ）｝^1/2

　この３次体が巡回３次体であるための必要十分条件は

　　−３（（−ｃ／２）^2＋（ｂ／３）^3）

が，Ｑのなかで平方数になっていることである．

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