これまでの計算によって、

Q(√2，-√2）＝Q(√2）＝Q(-√2）

ｉ^1/3,1^1/3,(-1)^1/3より

Q(3√2，3√2ω，3√2ω^2）

Q(3√2）≠Q(3√2ω）

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x^4＝2の場合は

x=4√2，4√2i，-4√2，-4√2i

x^5＝2の場合は

Q(5√2，5√2ζ，5√2ζ^2，5√2ζ^3，5√2ζ^4）

Q(5√2）≠Q(5√2ζ）

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ガロアは方程式を解くとは、係数体をガロア拡大体まで拡大することだと見抜いた。

x^2=2のガロア群は｛ε、σ｝位数2である。

x^3=2のガロア群は3√2，3√2ω，3√2ω^2を置き換える置換である。

σ：3√2→3√2ωとすると

x^3=2のガロア群は｛ε、σ、σ^2｝位数3の巡回群である。

x^5＝2の場合は｛ε、σ、σ^2、σ^3、σ^4｝位数5の巡回群であるが、

σは生成元であるが、σ^2、σ^3、σ^4も生成元になっている。

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