アレクサンドリアのヘロンは三角形の辺の長さがわかっていれば、どんな三角形の面積でも求められる公式を発見した。

内接四角形でない凸四角形の面積を求める一般的な公式は…

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【３】ブレットシュナイダーの公式

四角形の４辺の長さをａ，ｂ，ｃ，ｄ，内角をα，β，γ，δとする．　また，（β＋δ）／２＝θとおくと，

　　（１＋ｃｏｓ（β＋δ））／２＝（１＋ｃｏｓ２θ）／２＝ｃｏｓ^2θ

であるから，辺ａ、ｂのなす角をα，辺ｃ、ｄのなす角をβ，θ＝（α＋β）／２とすると，

１９世紀になってから四角形の面積を正確に求める公式（ブレットシュナイダーの公式）が得られた．

ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄとおくと，四角形の面積は

　　Ｓ^2＝（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）−ａｂｃｄ（１＋ｃｏｓ（β＋δ））／２

　　Ｓ＝（（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）−ａｂｃｄｃｏｓ^2θ）^1/2

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