■ヘロンの公式(その3)

アレクサンドリアのヘロンは三角形の辺の長さがわかっていれば、どんな三角形の面積でも求められる公式を発見した。

内接四角形でない凸四角形の面積を求める一般的な公式は…

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【3】ブレットシュナイダーの公式

四角形の4辺の長さをa,b,c,d,内角をα,β,γ,δとする. また,(β+δ)/2=θとおくと,

  (1+cos(β+δ))/2=(1+cos2θ)/2=cos^2θ

であるから,辺a、bのなす角をα,辺c、dのなす角をβ,θ=(α+β)/2とすると,

19世紀になってから四角形の面積を正確に求める公式(ブレットシュナイダーの公式)が得られた.

ここで,2s=a+b+c+dとおくと,四角形の面積は

  S^2=(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)−abcd(1+cos(β+δ))/2

  S=((s−a)(s−b)(s−c)(s−d)−abcdcos^2θ)^1/2

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