■ヘロンの公式(その2)

アレクサンドリアのヘロンは三角形の辺の長さがわかっていれば、どんな三角形の面積でも求められる公式を発見した。

四角形の面積を求める場合も、ヘロンの公式のようなものがあれが嬉しいのだが、そんな公式はあり得ない。

四角形の形は辺の長さだけでは決まらないので、面積も決まらないからである。

===================================

【2】ブラーマグプタの公式

四角形は4辺の長さを与えてもその形は決まらないので,ヘロンの公式のような公式は期待できませんが,四角形が円に内接するとき,面積は最大値をとり,ブラーマグプタの公式

  S=((s−a)(s−b)(s−c)(s−d))^1/2,

  s=(a+b+c+d)/2

が成り立ちます.

(証明)

 四角形の4辺の長さをa,b,c,d,内角をα,β,γ,δとする.ここで,2s=a+b+c+dとおくと,四角形の面積は

  S^2=(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)−abcd(1+cos(β+δ))/2

となる.

 四角形が円に内接するとき,β+δ=π,cos(β+δ)=−1より,面積は最大となり

  S^2=(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)

が成り立つ.この定理でd→0とすると,三角形のヘロンの公式

  Δ^2=s(s−a)(s−b)(s−c)

が得られる.しかしながら,円に内接する五角形や六角形については,ヘロンの公式の類似物は存在しない.

 この定理でd→0とすると,三角形のヘロンの公式

  Δ^2=s(s−a)(s−b)(s−c)

が得られる.

===================================

長方形a×bの場合、s=a+bであるから

  S=((s−a)(s−b)(s−c)(s−d))^1/2=ab

===================================