【３】ガロアと群

　１８２４年，アーベルは一般の５次方程式が四則演算とベキ根によっては解けないことを証明しましたが，まだ核心部分（ガロア理論）には到達しておりませんでした．

　ｎ次方程式の根の置換を考えると，それはｎ次対称群Ｓnの対称性を有しているのですが，ガロア理論によると，ｎ次方程式を解くということはＳnのなかに不変部分群（正規部分群）を見つけることに対応しています．

　正規部分群をもたない群は単純群と呼ばれるわけですから，単純群であるかどうかが方程式が可解か可解でないかを決定することになります．実際にはＡ5が最小の非可換な単純群であり，Ｓ5＞Ａ5ですから一般の５次方程式が四則演算とベキ根によっては解けないことがわかるのです．

　あらすじはこのとおりですが，この点のガロアの洞察はガロアがアーベルを超えたところといえるわけです．少し詳細に見ていくことにしましょう．

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　３文字１，２，３の置換全体のなす群が３次対称群Ｓ3で，その位数は３！＝６です．幾何学的にイメージするために１つの正三角形を考えてみましょう．三角形の中心まわりの角度１２０°の右回り回転をａとすると，ａは３回やると元に戻るので

　　ａ^3＝１

また，頂点を通る中心線に関して裏返す作用をｂとすると

　　ｂ^2＝１

２種類の作用の相互関係は

　　ａｂ＝ｂａ^2

と書けます．

　Ｓ3は２元｛ａ，ｂ｝によって生成される

　　｛１，ａ，ａ^2，ｂ，ｂａ，ｂａ^2｝

となるのですが，これは位数６の正２面体群，すなわち，位数３の巡回群｛１，ａ，ａ^2｝とその裏返し｛ｂ，ｂａ，ｂａ^2｝とからなる（回転∪鏡映）群と同一です．

　６×６の群表（ケイリー表）を書けば，どの元も各行各列にちょうど１回ずつ登場し，魔方陣のようであることが理解されるでしょう．

　　　　　１　　　　ａ　　　　ａ^2　　　ｂ　　　　ｂａ　　　ｂａ^2

１　　　　１　　　　ａ　　　　ａ^2　　　ｂ　　　　ｂａ　　　ｂａ^2

ａ　　　　ａ　　　　ａ^2　　　１　　　　ｂａ^2　　ｂ　　　　ｂ

ａ^2　　　ａ^2　　　１　　　　ａ　　　　ｂａ　　　ｂａ^2　　ｂ

ｂ　　　　ｂ　　　　ｂａ　　　ｂａ^2　　１　　　　ａ　　　　ａ^2

ｂａ　　　ｂａ　　　ｂａ^2　　ｂ　　　　ａ^2　　　１　　　　ａ

ｂａ^2　　ｂａ^2　　ｂ　　　　ｂａ　　　ａ　　　　ａ^2　　　１

　「正２面体群」とは，正ｎ角形をそれ自身に移す回転全体のなす群であって，重心を通る垂直軸を中心とした回転と対称軸を中心としたπ回転から生成される位数２ｎの群と幾何学的に考えることができます．この正２面体という奇妙な名前は，２枚の正多角形を貼り合わせたものをつぶれた多面体と見なすことから由来しているのですが，２つの生成元ａ，ｂが

　　ａ^2＝ｂ^n＝（ａｂ）^2＝１

という関係を満たすことを確かめられたい．

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