ここでは、方程式x^3-3x+1=0は有理数解をもたないことを証明する

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有理数解q/pをもつと仮定する.ただし、ｐ、ｑは互いに素

(q/p)^3-3(q/p)+1=0

q^3-3qp^2+p^3=0

q^3=3qp^2-p^3=p=p(3qp-p^2)・・・ｐの倍数

ｐ、ｑは互いに素であるから、ｐ＝1

q^3-3q+1=0

1=3q-q^3=q(3-q^2)

q=1,-1

しかし、x=1,-1は解ではない

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3つの解をa,b,cとする。・・・いずれも有理数でない

差積(a-b)(a-c)(b-c)=+/-(4p^3-27q^2)^1/2=+/-9

これは有理数であるから、ガロア群に含まれる置換は差積を変化させてはならない。

したがって

×(bac),(acb),(cba)

〇(abc),(bca),(cab)

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　　Ｄ（ｆ）＝ａ0^(2n-2)Δ^2＝０

ジラールの標準形であれば，判別式は簡単な形で表される．

　ｆ（ｘ）＝ｘ^3＋ｐｘ＋ｑの判別式は

　　Ｄ＝−（４ｐ^3＋２７ｑ^2）

　ｆ（ｘ）＝ｘ^n＋ｐｘ＋ｑの判別式は

　　Ｄ＝(-1)^(n(n-1)/2){(-n+1)^(n-1)p^n+n^nq^(n-1)}

　また，ｆの次数が高い場合の判別式は，重根をもつことは判定できても，実係数２次方程式のように実根，虚根，重根の判別ができるわけではない．たとえば，実係数３次方程式では，

　（Ｈ1）異なる３つの実数解をもつ

　（Ｈ2）３つの実数解をもつが重根が入っている

　（Ｈ3）１つの実数解と１組の共約な虚数解をもつ

のいずれかであるが，Ｄ＞０ならばＨ1，Ｄ＝０ならばＨ2，Ｄ＜０ならばＨ3である．また，３重解をもつための必要十分条件はＤ＝０，ｂ^2−３ａｃ＝０である．

　４次以上の実係数方程式の場合は

　　Ｄ＝０：重根をもつ

　　Ｄ＞０：偶数組の共約な虚数解をもつ（重根はない）

　　Ｄ＜０：奇数組の共約な虚数解をもつ（重根はない）

であり，Ｄ＝０は重根をもつための必要十分条件であっても，実根，虚根の判別ができるわけではないのである．

　代数方程式が重根をもつための条件は判別式＝０であるということであり，それが判別式の本来の意味である．実係数の２次，３次方程式では判別式の符号で実根の個数を判定することができるが，それは低次のときの特殊性に過ぎないのである．

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重解をもたない3次方程式の解の置換は6個ある

解が3個とも有理数の場合、2次方程式のガロア群は恒等置換のみ

解aだけが有理数、残りの2解b,cが有理数でない場合、2次方程式のガロア群は恒等置換と置換(bc)の2個からなる

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方程式のガロア群が恒等置換のみからなる方程式はすべての解が有理数である。

逆も成り立ち、

方程式のすべての解が有理数であるならば、ガロア群は恒等置換のみからなる。

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