ここでは、方程式x^3-3x+1=0は有理数解をもたないことを証明する

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有理数解q/pをもつと仮定する.ただし、ｐ、ｑは互いに素

(q/p)^3-3(q/p)+1=0

q^3-3qp^2+p^3=0

q^3=3qp^2-p^3=p=p(3qp-p^2)・・・ｐの倍数

ｐ、ｑは互いに素であるから、ｐ＝1

q^3-3q+1=0

1=3q-q^3=q(3-q^2)

q=1,-1

しかし、x=1,-1は解ではない

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3つの解をa,b,cとする。

差積(a-b)(a-c)(b-c)=+/-(4p^3-27q^2)^1/2=+/-9

これは有理数であるから、ガロア群に含まれる置換は差積を変化させてはならない。

したがって

×(bac),(acb),(cba)

〇(abc),(bca),(cab)

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