【２】ニュートンの恒等式

　対称式の基本定理（ウェアリング：１７６２年）より，ｎ変数のどんな対称式も基本対称式を用いて表すことができる．すなわち，

　　ｆ（α1，・・・，αn）＝ｇ（σ1，・・・，σn）

たとえば，２変数の場合，

　　α1^2＋α2^2＝（α1＋α2）^2−２α1α2

　　α1^3＋α2^3＝（α1＋α2）^3−３（α1＋α2）α1α2

　　α1^2α2＋α1α2^2＝（α1＋α2）α1α2

など．もっと複雑で変数の数が増えたとしても，やはり対称式は基本対称式の多項式で表されるのである．

　２変数の場合，α1＋α2やα1α2が基本対称式であるが，ｎ変数の場合の基本対称式は

　　σ1＝α1＋・・・＋αn　　　（項数nＣ1）

　　σ2＝α1α2＋・・・＋αn-1αn　　　（項数nＣ2）

　　σ3＝α1α2α3＋・・・＋αn-2αn-1αn　　　（項数nＣ3）

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　σn＝α1α2α3・・・αn　　　（項数nＣn）

となる．

　次に，ｎ変数対称式（累乗和）

　　ｐj＝α1^j＋α2^j＋・・・＋αn^j

を基本対称式を用いて表してみることにしよう．

　　ｆ（ｔ）＝Π（１＋ｔαi）＝１＋σ1ｔ＋σ2ｔ^2＋・・・＋σnｔ^n

とおくと，

　　f'(t)/f(t)=d/dtlogf(t)=Σαi／（１＋ｔαi）=ΣΣ(-1)^kαi^(k+1)t^k

=Σ(-1)^kｐ(k+1)t^k

　ゆえに，

　　ｆ’（ｔ）＝ｆ（ｔ）Σ(-1)^kｐ(k+1)t^k

となり，

　　σ1＋２σ2ｔ＋・・・＋ｎσnｔ^(n-1)

＝（１＋σ1ｔ＋σ2ｔ^2＋・・・＋σnｔ^n）（ｐ1−ｐ2ｔ＋ｐ3ｔ^2−・・・）

　両辺の係数を比較することによって，順次

　　ｐ1＝σ1

　　ｐ2＝σ1ｐ1−２σ2

　　ｐ3＝σ1ｐ2−σ2ｐ1＋３σ3＝σ1^3−３σ1σ2＋３σ3

　　ｐ4＝σ1ｐ3−σ2ｐ2＋σ3ｐ1−４σ4＝σ1^4−４σ1^2σ2＋２σ2^2＋４σ1σ3−４σ4

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｐ(k+1)＝σ1ｐk−σ2ｐ(k-1)＋・・・＋(-1)^(k-1)σkｐ1＋(-1)^k（ｋ＋１）σ(k+1)

が得られる．

　このことから「α1，α2，・・・，αnの基本対称式は，累乗和：α1^j＋α2^j＋・・・＋αn^jの有理数を係数とする整式で表される」という結果が導き出される（ニュートンの累乗和公式）．不思議なことに，何次の累乗和であっても方程式の係数を使って表せるのである．

　ｒ次の基本対称式（の総和）σrについては，不等式

　　σr-1σr+1≦σr^2 (1<=rが成り立つことが知られている．

　また，

　　Π（１＋ｔαi）＝１＋σ1ｔ＋σ2ｔ^2＋・・・＋σnｔ^n

　＝１＋nＣ1ｃ1ｔ＋nＣ2ｃ2ｔ^2＋・・・＋σnｔ^n

と表すと，

　　ｃr＝σn／nＣr

すなわち，ｒ次の基本対称式の平均である．

　ｃrは

　　σr-1σr+1≦σr^2 (1<=rよりも強い，次のような不等式を満たす．

(1)：ｃr-1ｃr+1≦ｃr^2 (1<=r(2)：ｃ1≧ｃ2^(1/2)≧ｃ3^(1/3)≧・・・≧ｃn^(1/n)

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