【１】判別式

　ｎ次方程式：

　　ｆ（ｘ）＝ａ0ｘ^n＋ａ1ｘ^(n-1)＋・・・＋ａn＝ａ0Π（ｘ−αi）＝０

が重根をもつためには，判別式：

　　Ｄ（ｆ）＝ａ0^(2n-2)Δ^2＝０

が必要十分条件である．ここで，

　　Δ＝Π（αi−αj）　　(1<=iはα1，・・・，αnの差積を表す．差積はｎ変数の最も簡単な交代式（基本交代式）であり，符号を除きファンデルモンドの行列式に等しい．

　差積Δは交代式，Δ^2は対称式であるから，基本対称式

　　σ1＝α1＋・・・＋αn

　　σ2＝α1α2＋・・・＋αn-1αn

　　σ3＝α1α2α3＋・・・＋αn-2αn-1αn

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　σn＝α1α2α3・・・αn　　　（σkはnＣk個の項をもつ）

の多項式として表されることが証明される．

　２次方程式ｆ（ｘ）＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０の判別式は，

　　Ｄ＝ａ^2（α1−α2）^2＝ａ^2｛（α1＋α2）^2−４α1α2｝

この場合の根と係数の関係は

　　α1＋α2＝−ｂ／ａ，α1α2＝ｃ／ａ

が成り立つから，

　　Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ

はｆ（ｘ）＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃの判別式であることはよく知られている．

　３次方程式の判別式は，ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝０の係数を代入して整理すると，

　　Ｄ＝−４ａｃ^3−２７ａ^2ｄ^2＋１８ａｂｃｄ＋ｂ^2ｃ^2−４ｂ^3ｄ

が得られるが，とても憶える気にならないし，また，憶えられる代物でもないであろう．ｆの次数が高い場合，その判別式を計算するのは容易ではない．ちなみに，５次方程式の判別式の項数は５９にもなるという．

　一方，ジラールの標準形であれば，判別式は簡単な形で表される．

　ｆ（ｘ）＝ｘ^3＋ｐｘ＋ｑの判別式は

　　Ｄ＝−（４ｐ^3＋２７ｑ^2）

　ｆ（ｘ）＝ｘ^n＋ｐｘ＋ｑの判別式は

　　Ｄ＝(-1)^(n(n-1)/2){(-n+1)^(n-1)p^n+n^nq^(n-1)}

　また，ｆの次数が高い場合の判別式は，重根をもつことは判定できても，実係数２次方程式のように実根，虚根，重根の判別ができるわけではない．たとえば，実係数３次方程式では，

　（Ｈ1）異なる３つの実数解をもつ

　（Ｈ2）３つの実数解をもつが重根が入っている

　（Ｈ3）１つの実数解と１組の共約な虚数解をもつ

のいずれかであるが，Ｄ＞０ならばＨ1，Ｄ＝０ならばＨ2，Ｄ＜０ならばＨ3である．また，３重解をもつための必要十分条件はＤ＝０，ｂ^2−３ａｃ＝０である．

　４次以上の実係数方程式の場合は

　　Ｄ＝０：重根をもつ

　　Ｄ＞０：偶数組の共約な虚数解をもつ（重根はない）

　　Ｄ＜０：奇数組の共約な虚数解をもつ（重根はない）

であり，Ｄ＝０は重根をもつための必要十分条件であっても，実根，虚根の判別ができるわけではないのである．

　代数方程式が重根をもつための条件は判別式＝０であるということであり，それが判別式の本来の意味である．実係数の２次，３次方程式では判別式の符号で実根の個数を判定することができるが，それは低次のときの特殊性に過ぎないのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝