【７】シルベスターの終結式

　　ｆ（ｘ）＝ａ0ｘ^n＋ａ1ｘ^(n-1)＋・・・＋ａn-1ｘ＋ａn

　　ｇ（ｘ）＝ｂ0ｘ^m＋ｂ1ｘ^(m-1)＋・・・＋ｂm-1ｘ＋ｂm

が共通因子をもつための必要十分条件は，ｎ＋ｍ次の行列式：Ｒｅｓ（ｆ，ｇ）

　　｜ａ0　ａ1・・・ａn・・・・・・０｜

　　｜０ 　ａ0　ａ1・・・ａn・・・０ ｜

　　｜・・・・・・・・・・・・・・・ ｜

　　｜０・・・・・・ａ0　ａ1・・・ａn｜＝０

　　｜ｂ0　ｂ1・・・ｂm・・・・・・０｜

　　｜０ 　ｂ0　ｂ1・・・ｂm・・・０ ｜

　　｜・・・・・・・・・・・・・・・ ｜

　　｜０・・・・・・ｂ0　ｂ1・・・ｂm｜

　よく知られているようにｆ（ｘ）＝０が重根をもつためにはｆ（ｘ）＝０，ｆ’（ｘ）＝０が共通根をもつことである．したがって，

　　Ｒｅｓ（ｆ，ｆ’）＝０

は，ｆ（ｘ）＝０が重根をもつための必要十分条件条件である．たとえば，

　　ｆ（ｘ）＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ，ｆ’（ｘ）＝２ａｘ＋ｂ

のとき，

　　Ｒｅｓ（ｆ，ｆ’）＝−ａ（ｂ^2−４ａｃ）

このように，Ｒｅｓ（ｆ，ｆ’）に方程式の判別式が出現するのは当然のことである．

　ちなみに，楕円曲線

　　ｙ^2＝ｆ（ｘ）＝ｘ^3＋ｐｘ＋ｑ

はワイエルシュトラスの標準形と呼ばれるものであるが，このとき

　　ｆ’（ｘ）＝３ｘ^2＋ｐ

　　Ｒｅｓ（ｆ，ｆ’）＝４ｐ^3＋２７ｑ^2

となる．４ｐ^3 ＋２７ｑ^2 ≠０はこの代数曲線が特異点をもたないための条件である．

　また，５次方程式

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^5＋ｐｘ＋ｑ＝０

はジラールの標準形と呼ばれるものであるが，一般に

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^n＋ｐｘ＋ｑ

のとき

　　Ｒｅｓ（ｆ，ｆ’）＝(-1)^(n-1)（ｎ−１）^(n-1)ｐ^n＋ｎ^nｑ^(n-1)

と計算される．

　　ｎ＝３のとき２^2ｐ^3＋３^3ｑ^2，

　　ｎ＝５のとき４^4ｐ^5＋５^5ｑ^4

というわけである．

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