■有限体とガロア体(その122)

 方程式

  f(x)=x^3−(s−3)x^2−sx−1=0

に対して,

  f(−1/(x+1))=(−1/(x+1))^3f(x)

が成り立つ.

 したがって,f(α)=0であれば,f(−1/(α+1))=0.さらにx=−1/(α+1)を−1/(x+1)に代入すれば,f(−(α+1)/α)=0.さらにx=−(α+1)/αを−1/(x+1)に代入すれば,f(α)=0に戻るので,Q(α)は巡回3次体と呼ばれる.

 この方程式の実根をαで表すとき,数体

  Q(α)={a+bα+cα^2|a,bは有理数}

は他の二つの根を含んでいる.すなわち,他の2根は

  β=−1/(α+1),γ=−(α+1)/α

で与えられ,最小分解体は

  Q(α)=Q(β)=Q(γ)

  [参]三宅克哉「方程式が織りなす代数学」共立出版

より,有理数体Q上の巡回群と二面体群についての生成多項式を抜粋して,以下に掲げる.

===================================

【1】巡回群Cn

C2:x^2−d=0

C3:x^3−(s−3)x^2−sx−1=0

C4:x^4−2s(1+t^2)x^2+s^2t^2(1+t^2)=0

C5:x^5+(t−3)x^4+(s−t+3)x^3+(t^2ーt−2s−1)x^2+sx+t=0

C6:x^6+6(s^2−s+1)tx^4+9(s^2−s+1)^2t^2x^2+3(s^2−s+1)^2t^3

 C5の場合は,2次方程式x^2+x−1=0の根を

  ω=2cos(2π/5)=(−1+√5)/2

C7の場合は,3次方程式x^3+x^2−2x−1=0の根を

  ω=2cos(2π/7)

とすると簡潔になる.

C5:x^5−ux^4+2(ωu−5)x^3+2ω(u+5)x^2+(5ω−u)x−1=0

C7:x^7−7tx^6+21(ωt−1)x^5−35((ω^2−1)tーω)x^4−35(ω^2−1)(t+1)x^3+21(ωt−ω^2+1)x^2−7(t−ω)x−1=0

===================================

【2】二面体群Dn

 正n角形の表と裏を区別することから二面体群と呼ばれる.位数は2n.

D3(=S3):x^3−sx−s=0,判別式はD=s^2(4s−27)

  因数(4s−27)がQ内で平方(例えばs=7,31/4,9,43/4,13,・・・)であれば,3次体は巡回3次体である.s=0,27/4の場合,判別式が0になって重根をもつ.

D4:x^4−2stx^2+s^2t(t−1)=0

D5:x^5+(t−3)x^4+(s−t+3)x^3+(t^2ーt−2s−1)x^2+sx+t=0

D6:x^6+6stx^4+9s^2t^2x^2+3s^2t^2

D5:x^5+(1−3ω)x^4+(3−5ω)x^3+(2−3ω)x^2+c=0,ω=2cos(2π/5)

D7:x^7+(−2−5ω+3ω^2)x^6+(−14−19ω+27ω^2)x^5+(−45−65ω+80ω^2)x^4+(−65−94ω+117ω^2)x^3+(−36−52ω+65ω^2)x^2+c=0,ω=2cos(2π/7)

===================================