方程式

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^3−（ｓ−３）ｘ^2−ｓｘ−１＝０

に対して，

　　ｆ（−１／（ｘ＋１））＝（−１／（ｘ＋１））^3ｆ（ｘ）

が成り立つ．

　したがって，ｆ（α）＝０であれば，ｆ（−１／（α＋１））＝０．さらにｘ＝−１／（α＋１）を−１／（ｘ＋１）に代入すれば，ｆ（−（α＋１）／α）＝０．さらにｘ＝−（α＋１）／αを−１／（ｘ＋１）に代入すれば，ｆ（α）＝０に戻るので，Ｑ（α）は巡回３次体と呼ばれる．

　この方程式の実根をαで表すとき，数体

　　Ｑ（α）＝｛ａ＋ｂα＋ｃα^2｜ａ，ｂは有理数｝

は他の二つの根を含んでいる．すなわち，他の２根は

　　β＝−１／（α＋１），γ＝−（α＋１）／α

で与えられ，最小分解体は

　　Ｑ（α）＝Ｑ（β）＝Ｑ（γ）

　　［参］三宅克哉「方程式が織りなす代数学」共立出版

より，有理数体Ｑ上の巡回群と二面体群についての生成多項式を抜粋して，以下に掲げる．

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【１】巡回群Ｃn

Ｃ2：ｘ^2−ｄ＝０

Ｃ3：ｘ^3−（ｓ−３）ｘ^2−ｓｘ−１＝０

Ｃ4：ｘ^4−２ｓ（１＋ｔ^2）ｘ^2＋ｓ^2ｔ^2（１＋ｔ^2）＝０

Ｃ5：ｘ^5＋（ｔ−３）ｘ^4＋（ｓ−ｔ＋３）ｘ^3＋（ｔ^2ーｔ−２ｓ−１）ｘ^2＋ｓｘ＋ｔ＝０

Ｃ6：ｘ^6＋６（ｓ^2−ｓ＋１）ｔｘ^4＋９（ｓ^2−ｓ＋１）^2ｔ^2ｘ^2＋３（ｓ^2−ｓ＋１）^2ｔ^3

　Ｃ5の場合は，２次方程式ｘ^2＋ｘ−１＝０の根を

　　ω＝２ｃｏｓ（２π／５）＝（−１＋√５）／２

Ｃ7の場合は，３次方程式ｘ^3＋ｘ^2−２ｘ−１＝０の根を

　　ω＝２ｃｏｓ（２π／７）

とすると簡潔になる．

Ｃ5：ｘ^5−ｕｘ^4＋２（ωｕ−５）ｘ^3＋２ω（ｕ＋５）ｘ^2＋（５ω−ｕ）ｘ−１＝０

Ｃ7：ｘ^7−７ｔｘ^6＋２１（ωｔ−１）ｘ^5−３５（（ω^2−１）ｔーω）ｘ^4−３５（ω^2−１）（ｔ＋１）ｘ^3＋２１（ωｔ−ω^2＋１）ｘ^2−７（ｔ−ω）ｘ−１＝０

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【２】二面体群Ｄn

　正ｎ角形の表と裏を区別することから二面体群と呼ばれる．位数は２ｎ．

Ｄ3（＝Ｓ3）：ｘ^3−ｓｘ−ｓ＝０，判別式はＤ＝ｓ^2（４ｓ−２７）

　　因数（４ｓ−２７）がＱ内で平方（例えばｓ＝７，３１／４，９，４３／４，１３，・・・）であれば，３次体は巡回３次体である．ｓ＝０，２７／４の場合，判別式が０になって重根をもつ．

Ｄ4：ｘ^4−２ｓｔｘ^2＋ｓ^2ｔ（ｔ−１）＝０

Ｄ5：ｘ^5＋（ｔ−３）ｘ^4＋（ｓ−ｔ＋３）ｘ^3＋（ｔ^2ーｔ−２ｓ−１）ｘ^2＋ｓｘ＋ｔ＝０

Ｄ6：ｘ^6＋６ｓｔｘ^4＋９ｓ^2ｔ^2ｘ^2＋３ｓ^2ｔ^2

Ｄ5：ｘ^5＋（１−３ω）ｘ^4＋（３−５ω）ｘ^3＋（２−３ω）ｘ^2＋ｃ＝０，ω＝２ｃｏｓ（２π／５）

Ｄ7：ｘ^7＋（−２−５ω＋３ω^2）ｘ^6＋（−１４−１９ω＋２７ω^2）ｘ^5＋（−４５−６５ω＋８０ω^2）ｘ^4＋（−６５−９４ω＋１１７ω^2）ｘ^3＋（−３６−５２ω＋６５ω^2）ｘ^2＋ｃ＝０，ω＝２ｃｏｓ（２π／７）

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