x^3+px+q=0の3解をa,b,cとします。

a+b+c=0、ab+bc+ca=p,abc=-q

D=-4p^3-27q^2,

Δ=(a-b)(a-c)(b-c)=+/-(D)^1/2となることが確かめられる。

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実係数３次方程式では，

　（Ｈ1）異なる３つの実数解をもつ

　（Ｈ2）３つの実数解をもつが重根が入っている

　（Ｈ3）１つの実数解と１組の共約な虚数解をもつ

のいずれかであるが，Ｄ＞０ならばＨ1，Ｄ＝０ならばＨ2，Ｄ＜０ならばＨ3である．また，３重解をもつための必要十分条件はＤ＝０，ｂ^2−３ａｃ＝０である．

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解の公式はx={(-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^1/2}^1/3+{(-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^1/2}^1/3/2

と

a=((a+b+c)+(a+ωb+ω^2c)+(a+ω^2b+ωc))/3

b=((a+b+c)+ω^2(a+ωb+ω^2c)+ω(a+ω^2b+ωc))/3

c=((a+b+c)+ω(a+ωb+ω^2c)+ω^2(a+ω^2b+ωc))/3

の関係は如何に？

a+b+c=0より,

a=((a+ωb+ω^2c)+(a+ω^2b+ωc))/3

(a+ωb+ω^2c)^2と(a+ω^2b+ωc)^2はabcの巡回置換で変化する

(a+ωb+ω^2c)^2→ω(a+ωb+ω^2c)^2

(a+ω^2b+ωc)^2→ω^2(a+ω^2b+ωc)^2

(a+ωb+ω^2c)^3と(a+ω^2b+ωc)^3はbcの巡回置換でもう一方の式へと変化する

(a+ωb+ω^2c)^3→(a+ω^2b+ωc)^3

(a+ω^2b+ωc)^3→(a+ωb+ω^2c)^3

このことから

(a+ωb+ω^2c)^3と(a+ω^2b+ωc)^3は方程式の係数と差積Δの四則演算で計算される

(a+ωb+ω^2c)と(a+ω^2b+ωc)は方程式の係数と差積Δの四則演算で計算される数の3乗根

また、差積は判別式の平方根

判別式Ｄはa,b,cの対称式

a=((a+b+c)+(a+ωb+ω^2c)+(a+ω^2b+ωc))/3は方程式の係数の四則演算で表すことができる

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