【１】５次方程式への挑戦

　５次方程式：

　　ａｘ^5＋ｂｘ^4＋ｃｘ^3＋ｄｘ^2＋ｅｘ＋ｆ＝０

の代数的解法，すなわち四則演算＋，−，×，÷と根号√，3√，4√，・・・によって解を求めるという問題は，いまからほとんど４世紀も昔の問題です．

　一般に，ｎ次方程式：

　　ａnｘ^n＋ａn-1ｘ^(n-1)＋・・・＋ ａ1ｘ＋ａ0＝０

に対してｘ’＝ｘ＋ａn-1 ／ｎａn と変換（カルダノ変換）するとｘ^(n-1)の項が０である方程式に還元できます．３次方程式では２次の項，４次方程式では３次の項を欠いた方程式に変形しましたが，ではもっと低次の項の係数を０にできないか？と考えるのは自然な発想でしょう．

　カルダノ・オイラー・フェラーリ・デカルトの解法は，いずれもカルダノ変換から説明される方法ですが，チルンハウスとその弟子たちは，

　　ｘ^5＋ａ1ｘ^4＋ａ2ｘ^3＋ａ3ｘ^2＋ａ4ｘ＋ａ5＝０

に対して

　　ｙ＝ｘ^4＋ｂ1ｘ^3＋ｂ2ｘ^2＋ｂ3ｘ＋ｂ4

という変換を行い，うまくｂ1，・・・，ｂ4を選ぶ方法を考えました（チルンハウス変換：１６８３年）．

　そうすることによって，４次の項と３次の項のない５次方程式が得られたのですが，さらに１８４３年にジラールは２次の項も消去できることを示しました．つまり，一般の５次方程式を

　　ｘ^5＋ｐｘ＋ｑ＝０

まで還元できることが判ったわけです（実際にこの作業を行うのは容易ではなく，コンピュータなしでは絶望的です）．

　この形は根と係数の関係を発見したジラールにちなんでジラールの標準形と呼ばれているのですが，ここでｐ＝０ならば−ｑの５乗根としてｘは求まります（ｑ＝０ならば４次方程式に帰着できます）．しかし，さらにｐ＝０にしようとすると，６次方程式を解く必要が生じて，問題がかえって難しくなってしまいました．

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【２】ラグランジュと置換

　ラグランジュは，一般のｎ次方程式のｎ個の根ｘ1，ｘ2，・・・，ｘnと１のｎ乗根ζの式：

　　Ｒ＝Σζ^(k-1)ｘk

を根とする方程式の性質を詳しく考察し，方程式論に置換群の概念を導入した意義は重要です．

　ラグランジュの基本的なアイディアは，これまで研究されてきた方程式の根の公式を対称性の視点から見つめ直すことにあったのですが，３次方程式の３根ｘ1，ｘ2，ｘ3をとり，

　　Ｒ＝（ｘ1＋ωｘ2＋ω^2ｘ3）^3

を考えてみましょう．

　３根ｘ1，ｘ2，ｘ3の置換は３！＝６通りあるのですが，それらはＲにたった２種類の値をとらせるだけです．このことは非常に驚くべきことなのですが，

　　Ｒ＝（ｘ1＋ωｘ2＋ω^2ｘ3）^3＝ｘ1^3＋ｘ2^3＋ｘ3^3＋６ｘ1ｘ2ｘ3＋３ω（x1^2ｘ2＋ｘ2^2ｘ3＋ｘ3^2ｘ1）＋３ω^2（x1ｘ2^2＋ｘ2ｘ3^2＋ｘ3ｘ1^2）

となることから理解されます．そして，このことを用いると３次方程式は２次方程式に還元されるのです．

　４次方程式の場合は，４根ｘ1，ｘ2，ｘ3，ｘ4に対して，

　　Ｒ＝（ｘ1＋ｉｘ2−ｘ3−ｉｘ4）^4

ではなく

　　Ｒ＝（ｘ1＋ｘ2−ｘ3−ｘ4）^2

を考えます．すると４！＝２４通りの置換に対して，Ｒは３個の異なる値

　　Ｒ1＝（ｘ1＋ｘ2−ｘ3−ｘ4）^2

　　Ｒ2＝（ｘ1＋ｘ3−ｘ2−ｘ4）^2

　　Ｒ3＝（ｘ1＋ｘ4−ｘ2−ｘ3）^2

しかとらないことがわかります．

　このように４次方程式は３次方程式に還元されるわけですが，４次以下の方程式については，解の置換によって方程式の次数よりも小さな次数の方程式の解法に還元できることがわかりました．

　以上のことをもっと正確に表現すると，

(1)ｎが素数ならば，Ｒ^nは次数が（ｎ−１）の方程式の解であり，その係数は（ｎ−２）！次の方程式の解から決定される

(2)ｎが素数でないとき，Ｒ^pは次数（ｐ−１）の方程式の解であり，ｎ＝ｐｑとするとその係数はｎ！／（ｐ−１）ｐ（ｑ！）^p次の方程式の解から決定される

となります．

　４次方程式のときは３次方程式に還元できましたが，５次方程式については６次方程式，６次方程式については１０（あるいは１５次）方程式になってしまうというのです．したがって，４次方程式までと同様の方法を５次方程式に試みると失敗することがわかります．しかし，ラグランジュはまだ５次方程式は可解ではないと確信するところまでは至っていませんでした．古い方法で失敗したところを新しい方法で突破できるという希望を抱いていたのです．

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【３】ガロアと群

　１８２４年，アーベルは一般の５次方程式が四則演算とベキ根によっては解けないことを証明しましたが，まだ核心部分（ガロア理論）には到達しておりませんでした．

　ｎ次方程式の根の置換を考えると，それはｎ次対称群Ｓnの対称性を有しているのですが，ガロア理論によると，ｎ次方程式を解くということはＳnのなかに不変部分群（正規部分群）を見つけることに対応しています．

　正規部分群をもたない群は単純群と呼ばれるわけですから，単純群であるかどうかが方程式が可解か可解でないかを決定することになります．実際にはＡ5が最小の非可換な単純群であり，Ｓ5＞Ａ5ですから一般の５次方程式が四則演算とベキ根によっては解けないことがわかるのです．

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