１次方程式：ａｘ＋ｂ＝０の解はｘ＝−ｂ／ａのように分数の形で求められますが，２次方程式の根の公式は紀元前二千年頃のバビロニアで求められました．方程式論四千年の歴史の幕開けです．その後，しばらくの間（約３千年）をおくことになるのですが，３次方程式，４次方程式は１６世紀になって（１５１５年〜１５４０年ころ）それぞれフォンタナ（タルタリア），フェラーリによって肯定的に解かれ，根の公式が求められています．

　そこで，次の問題は５次方程式：

　　ａｘ^5＋ｂｘ^4＋ｃｘ^3＋ｄｘ^2＋ｅｘ＋ｆ＝０

の代数的解法，すなわち四則演算＋，−，×，÷と根号√，3√，4√，・・・によって解を求めることでした．いまからほとんど４世紀も昔の問題です．

　５次方程式の根の公式に対してはオイラーやラグランジュなど多くの数学者が挑戦したのですが，だれ一人として成功しませんでした．それでも１８世紀の終わりまで根の公式は求まるものと信じられてきたのですが，じつはこれには正当な理由があり，そもそも不可能な問題であったのです．

　結局，１９世紀になってから，５次以上の一般代数方程式は代数的に（四則と累乗根によって）解けないことが，二人の若い数学者，アーベルとガロアによって否定的に解かれ，根の公式は存在しないことが証明されています．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】２次方程式の解法（古代バビロニア）

　２次方程式：

　　ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０

の根の公式：

　　ｘ＝（−ｂ±√Ｄ）／２ａ，Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ

は紀元前二千年頃のバビロニアで求められています．

　Ｄは２次方程式の判別式ですが，

　　ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝ａ｛（ｘ＋ｂ／２ａ）^2−Ｄ／４ａ^2｝

ここで，ｘ＋ｂ／２ａ＝ｕ，Ｄ／４ａ^2＝ｖ^2とおいて，完全平方式＝定数という形の方程式を作り，

　　ｕ^2−ｖ^2＝（ｕ＋ｖ）（ｕ−ｖ）

を適用して上記の根の公式を得ていることは，ここの読者にとっては釈迦に説法と思われます．

　以上のことを数式的表現ではなくて，図形的に解釈すると，

　　『ｘ^2＋ｂ／ａｘ＝ｘ（ｘ＋ｂ／ａ）は長方形の面積と解釈される．これを変形して一辺がｘ＋ｂ／２ａの正方形を作る．この正方形の面積は長方形の面積（＝−ｃ）と一辺がｂ／２ａの正方形の面積との和でＳ＝Ｄ／４ａ^2となる．』と解釈し直すことができます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　１次方程式を解くために有理数（分数）を考え，２次方程式を解くために無理数（と複素数）を考え，３次方程式を解くために実数から複素数へと数の世界は拡大されました．ガウスが１７９９年に証明した代数学の基本定理によって，ｎ次方程式はｎがどんな値のときでも，複素数の範囲でなら必ず根の存在は保証されているわけです．

　さて，２次方程式の根の公式（根を係数で表す式）は，与えられた方程式の係数と加減乗除および根号をとるという手続きのみを用いて書かれています．このような公式をｎ次方程式についても導き出したいのですが，これ以降は，ｎ次方程式根の公式を係数についての加減乗除とｎ乗根（ｎ≧２）をとるという手続きのみを用いて表すという問題，すなわち，根の公式の存在証明について考えることにします．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝