ここでは，基本対称式におけるニュートンの公式・ジラールの公式について簡単に述べておきたいと思います．ニュートンの恒等式は，基本対称式とベキ和を結びつけているのですが，特性類の説明を見通しよく行うためにも必要になってくるのです．

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　一般のｎ次方程式：

　　ｆ（ｘ）＝ａ0ｘ^n＋ａ1ｘ^(n-1)＋・・・＋ａn＝ａ0Π（ｘ−αi）＝０

の根と係数の関係は，

　　α1＋・・・＋αn＝−ａ1／ａ0

　　α1α2＋・・・＋αn-1αn＝ａ2／ａ0

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　α1α2α3・・・αn＝（−１）^nａn／ａ0

（ジラール）ですが，対称式の基本定理より，ｎ変数のどんな対称式も基本対称式を用いて表すことができます．たとえば，２変数の場合，

　　α1^2＋α2^2＝（α1＋α2）^2−２α1α2

　　α1^3＋α2^3＝（α1＋α2）^3−３（α1＋α2）α1α2

　　α1^2α2＋α1α2^2＝（α1＋α2）α1α2

など．

　そこで，ｎ変数対称式：

　　ｓj＝α1^j＋α2^j＋・・・＋αn^j

を基本対称式：

　　σ1＝α1＋・・・＋αn

　　σ2＝α1α2＋・・・＋αn-1αn

　　σ3＝α1α2α3＋・・・＋αn-2αn-1αn

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　σn＝α1α2α3・・・αn

を用いて表してみることにしましょう．

　余分な変数ｔを導入して，

　ｆ（ｔ）＝Π（１＋ｔαi）＝１＋σ1ｔ＋σ2ｔ^2＋・・・＋σnｔ^n

とおくと，

　f'(t)/f(t)=d/dtlogf(t)=Σαi／（１＋ｔαi）=ΣΣ(-1)^kαi^(k+1)t^k

=Σ(-1)^kｓ(k+1)t^k

　ゆえに，

　　f'(t)=f(t)Σ(-1)^kｓ(k+1)t^k

となり，

　　σ1＋２σ2ｔ＋・・・＋ｎσnｔ^(n-1)

＝（１＋σ1ｔ＋σ2ｔ^2＋・・・＋σnｔ^n）（ｓ1−ｓ2ｔ＋ｓ3ｔ^2−・・・）

　両辺の係数を比較することによって，順次

　　ｓ1＝σ1

　　ｓ2＝σ1ｓ1−２σ2＝σ1^2−２σ2

　　ｓ3＝σ1ｓ2−σ2ｓ1＋３σ3＝σ1^3−３σ1σ2＋３σ3

　　ｓ4＝・・・＝σ1^4−４σ1^2σ2＋２σ2^2＋４σ1σ3−４σ4

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｓ(k+1)＝σ1ｓk−σ2ｓ(k-1)＋・・・＋(-1)^(k-1)σkｓ1＋(-1)^k（ｋ＋１）σ(k+1)＝ｆ（σ1，・・・，σ(k+1)）

が得られます（ニュートンの公式）．

　また，ｔ＝１とおくことにより，

　　(-1)^kｓk／ｋ＝Σ(-1)^(i1+･･･+ik)（i1+･･･+ik-1)!/i1!･･･ik!σ^i1･･･σ^ik　　　i1+2i2･･･+kik=k

が証明されます（ジラールの公式）．

　ニュートンの恒等式から

　　『α1，α2，・・・，αnの基本対称式は，累乗和：α1^j＋α2^j＋・・・＋αn^jの有理数を係数とする整式で表される』

という結果が導き出されます．不思議なことに，何次の累乗和であっても方程式の係数を使って表せるのです．

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