【４】４次方程式の解法（フェラーリの方法）

　以上が３次方程式の解法に類似したオイラーの方法ですが，４次方程式の解法を初めて発見したのはフェラーリですからから，その解法も述べておかなければなりません．

　３次の項を欠いた４次方程式

　　ｕ^4＋ｐｕ^2＋ｑｕ＋ｒ＝０

すなわち，

　　ｕ^4＝−ｐｕ^2−ｑｕ−ｒ

の両辺に２次式：２ｖｕ^2＋ｖ^2を加えて，

　　ｕ^4＋２ｖｕ^2＋ｖ^2＝（２ｖ−ｐ）ｕ^2−ｑｕ＋ｖ^2−ｒ

とすると，左辺は（ｕ^2＋ｖ）^2となって完全平方になります．

　右辺の２次式は，判別式

　　Ｄ＝ｑ^2−４（２ｖ−ｐ）（ｖ^2−ｒ）＝０

のとき完全平方になりますから，Ｄ＝０が成り立つようにｖを定めると

　　ｕ^2＋ｖ＝±√（２ｖ−ｐ）｛ｕ−ｑ／２（２ｖ−ｐ）｝

と変形され２つの２次方程式に帰着されます．

　Ｄ＝０の式を，ｖについて整理すると，

　　８ｖ^3−４ｐｖ^2−８ｒｖ＋（４ｐｒ−ｑ^2）＝０

の解として求まることになりますから，結局，フェラーリは次数４の方程式は２次方程式と３次方程式に帰着させることができ，したがって平方根と立方根によって解けることを発見したのです．

　フェラーリの方法は平方完成によるものですが，図形的に解釈すると，４次元の超立方体の分割によるものではなく，正方形の分割を２度適用することに基づいています．

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