【２】３次方程式の解法（カルダノの方法）

　３次方程式：

　　ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝０

の場合は，２次方程式のようにな完全立方式＝定数の形にすることは難しそうですが，ｘ^2の項の係数はｘ’＝ｘ＋ｂ／３ａと変数変換（カルダノ変換）することによって簡単に消すことができます．

　　ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝ａ｛（ｘ＋ｂ／３ａ）^3＋ｐ（ｘ＋ｂ／３ａ）＋ｑ｝

ここで，

　　ｐ＝（３ａｃ−ｂ^2）／３ａ^2，

　　ｑ＝（２ｂ^3−９ａｂｃ＋２７ａ^2）／２７ａ^3，

　　ｕ＝ｘ＋ｂ／３ａ

とおけば，

　　ｕ^3＋ｐｕ＋ｑ＝０

となり，ｕについては２次の項がなく，３次，１次，定数項が残りますから，因数分解の公式

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａｂ−ｂｃ−ｃａ）

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂω＋ｃω^2）（ａ＋ｂω^2＋ｃω）

が使えそうです．ここで，ωは１の３乗根：{(-1+√(-3)}/2であり，

　　ω^3＝１

また，

　　ｘ^3−１＝（ｘ−１）（ｘ^2＋ｘ＋１）

　　　　　　＝（ｘ−１）（ｘ−ω）（ｘ−ω^2）

と因数分解できますから，ω^2＋ω＋１＝０を満たしています．

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ＝ａ^3−３ｂｃａ＋（ｂ^3＋ｃ^3）

したがって，既知の数ｐ，ｑに対して

　　ｐ＝−３ｂｃ，

　　ｑ＝ｂ^3＋ｃ^3

を満たすｂ，ｃが求められれば，

　　ｕ＝−（ｂ＋ｃ），−（ｂω＋ｃω^2），−（ｂω^2＋ｃω）

すなわち，解

　　ｘ＝−ｂ／３ａ−（ｂ＋ｃ）

　　ｘ＝−ｂ／３ａ−（ｂω＋ｃω^2）

　　ｘ＝−ｂ／３ａ−（ｂω^2＋ｃω）

が得られたことになります．

　　ｂ^3＋ｃ^3＝ｑ，

　　ｂ^3ｃ^3＝−ｐ^3／２７

ですから，ｂ^3，ｃ^3は２次方程式：

　　ｖ^2−ｑｖ−ｐ^3／２７＝０

の解として定めることができます．

　このように，カルダノの方法として知られている３次方程式の根の公式では未知数を変換して２次の項をなくした方程式に変換し，最終的に２次方程式に帰着させます．本質的には，２次方程式の解法で使った正方形の分割を，そっくりそのまま立方体の分割に応用して３次方程式を解くという幾何学的アイデアに基づいています．すなわち，平方完成の原理を立体図形にまで高めたのがカルダノの方法なのです．

　実は，真の発見者はカルダノではなく，フォンタナ（通称タルタリア：タルタリアというのはどもる人という意味で彼のニックネームだった）の発見した解法であるというエピソードはいろいろな数学史の書物に取り上げられているのでご存じの方も多いと思われます．

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　ここではｘ^2の項の係数を０にする変数変換（カルダノ変換）によって，

　　ｕ^3＋ｐｕ＋ｑ＝０

の形にして，このｐ，ｑを用いた形で３次方程式の根の公式を与えましたが，２次方程式の場合と同様に「３次方程式の判別式」を使っても書くことができることを示しておきます．

　３次方程式をｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝０とおいても，一般性は失われません（もし，ｘ^3の係数がａ≠１ならば，ａで両辺を割ればこの形になる）．この方程式の判別式は，

　　Ｄ＝−４ｃ^3−２７ｄ^2＋１８ｂｃｄ＋ｂ^2ｃ^2−４ｂ^3ｄ→【補】

　また，

　　Ｂ＝−２ｂ^3＋９ｂｃ−２７ｃ，

　　ｕ^3＝｛Ｂ＋３√（−３Ｄ）｝／２，

　　ｖ^3＝｛Ｂ−３√（−３Ｄ）｝／２

とおくと，ｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝０の３根は，判別式Ｄを使って

　　ｘ1＝（−ｂ＋ｕ＋ｖ）／３，

　　ｘ2＝（−ｂ＋ω^2ｕ＋ωｖ）／３，

　　ｘ3＝（−ｂ＋ωｕ＋ω^2ｖ）／３

で与えられます．

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【補】判別式

　ｎ次方程式：

　ｆ（ｘ）＝ａ0ｘ^n＋ａ1ｘ^(n-1)＋・・・＋ａn＝ａ0Π（ｘ−αi）＝０

が重根をもつためには，判別式：

　　Ｄ（ｆ）＝ａ0^(2n-2)Δ^2＝０

が必要十分条件である．ここで，

　　Δ＝Π（αi−αj）　　(1<=iはα1，・・・，αnの差積を表す．

　差積Δは対称式ではないが，Δ^2は対称式であるから，基本対称式

　　σ1＝α1＋・・・＋αn

　　σ2＝α1α2＋・・・＋αn-1αn

　　σ3＝α1α2α3＋・・・＋αn-2αn-1αn

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　σn＝α1α2α3・・・αn　　　（σkはnＣk個の項をもつ）

の多項式として表されることが証明されている（対称式の基本定理：ウェアリング：１７６２年）．すなわち，

　　ｆ（α1，・・・，αn）＝ｇ（σ1，・・・，σn）

　２次方程式ｆ（ｘ）＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０の判別式は，

　　Ｄ＝ａ^2（α1−α2）^2＝ａ^2｛（α1＋α2）^2−４α1α2｝

この場合の根と係数の関係は

　　α1＋α2＝−ｂ／ａ，α1α2＝ｃ／ａ

が成り立つから，

　　Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ

はｆ（ｘ）＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃの判別式であることはよく知られている．

　３次方程式の判別式は，ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝０の係数を代入して整理すると，

　　Ｄ＝−４ａｃ^3−２７ａ^2ｄ^2＋１８ａｂｃｄ＋ｂ^2ｃ^2−４ｂ^3ｄ

が得られるが，とても憶える気にならないし，また，憶えられる代物でもないであろう．ｆの次数が高い場合，その判別式を計算するのは容易ではない．ちなみに，５次方程式の判別式の項数は５９にもなるという．

　一方，ジラールの標準形であれば，判別式は簡単な形で表される．

　ｆ（ｘ）＝ｘ^3＋ｐｘ＋ｑの判別式は

　　Ｄ＝−（４ｐ^3＋２７ｑ^2）

　ｆ（ｘ）＝ｘ^n＋ｐｘ＋ｑの判別式は

　　Ｄ＝(-1)^(n(n-1)/2){(-n+1)^(n-1)p^n+n^nq^(n-1)}

　また，ｆの次数が高い場合の判別式は，重根をもつことは判定できても，実係数２次方程式のように実根，虚根，重根の判別ができるわけではない．たとえば，実係数３次方程式では，

　（Ｈ1）異なる３つの実数解をもつ

　（Ｈ2）３つの実数解をもつが重根が入っている

　（Ｈ3）１つの実数解と１組の共約な虚数解をもつ

のいずれかであるが，Ｄ＞０ならばＨ1，Ｄ＝０ならばＨ2，Ｄ＜０ならばＨ3である．また，３重解をもつための必要十分条件はＤ＝０，ｂ^2−３ａｃ＝０である．

　４次以上の実係数方程式の場合は

　　Ｄ＝０：重根をもつ

　　Ｄ＞０：偶数組の共約な虚数解をもつ（重根はない）

　　Ｄ＜０：奇数組の共約な虚数解をもつ（重根はない）

であり，Ｄ＝０は重根をもつための必要十分条件であっても，実根，虚根の判別ができるわけではないのである．

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