ガウスが１７９９年に証明した代数学の基本定理によって、ｎ次方程式はｎがどんな値のときでも、複素数の範囲で根の存在は保証されていますが、ここでは、根の公式（根を係数で表す式）の存在について触れることにします。

　２次方程式は紀元前二千年頃のバビロニアで、３次方程式、４次方程式は１６世紀になって（１５１５年〜１５４０年ころ）それぞれファンタナ（タルタリアというのはどもる人という意味で彼のニックネームだった）、フェラーリによって肯定的に解かれ、根の公式が求められています。フェラーリは次数４の方程式は２次方程式と３次方程式に帰着させることができ、したがって平方根と立方根によって解けることを発見しました。

　そこで、次の問題は５次方程式：ａｘ^5 ＋ｂｘ^4 ＋ｃｘ^3 ＋ｄｘ^2 ＋ｅｘ＋ｆ＝０の代数的解法、すなわち四則演算＋，−，×，÷と根号√， 3√， 4√，・・・によって解を求めることでした。いまからほとんど４世紀も昔の問題です。５次方程式の根の公式に対してはオイラーやラグランジュなど多くの数学者が挑戦したのですが、だれ一人として成功しませんでした。ラグランジュは４次方程式と同様の方法を５次方程式に試みて失敗したのですが、じつはこれには正当な理由があり、そもそも不可能な問題であったのです。

　一般に、ｎ次方程式：

ａn ｘ^n ＋ａn-1 ｘ^n-1 ＋・・・＋ ａ1 ｘ＋ａ0 ＝０

に対してｘ’＝ｘ＋an-1 ／ｎａn と変換するとｘn-1 の項が０である方程式に還元できます。ではもっと低次の項の係数を０にできないか？と考えて、チルンハウスとその弟子たちは、一般の５次方程式をｘ5 ＋ａｘ＋ｂ＝０まで還元しました（チルンハウス変換）。ここで、ａ＝０ならば−ｂの５乗根としてｘは求まるのですが、しかし、さらにａ＝０にしようとすると、６次方程式を解く必要が生じて、問題がかえって難しくなってしまいます。

　結局、１９世紀になってから、５次以上の一般代数方程式は代数的に（四則と累乗根によって）解けないことが、二人の若い数学者、アーベルとガロアによって否定的に解かれ、根の公式は存在しないことが証明されています（→【補】）。肺結核に侵され不幸にして夭折した天才アーベル、そして当時の数学界に受け入れられなかった悲劇の天才ガロアはわずか２０才の１８３２年に決闘にたおれたことはあまりにも有名な悲話になっています。

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