【１】０，１，２，３の世界

掛け算表を考えると

ｘ　１　　２　　３

１　１　　２　　３

２　２　　０　　２

３　３　　２　　１

となります。

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ｐが素数であるとき、ｐ^m個の元をもつ有限体は重要であるが、たとえば、ｍ＝2、4個の要素をもっている有限体を

　　F4={0,1,2,3}

で解釈しようとすると

2・2=4=0

したがって、2ｘ＝0は2つの解ｘ＝0，ｘ＝2をもつし

2x=1は解をもたない。言い換えれば２の逆数は存在せず、これでは体を構成できない。

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それではどのようにして4つの要素をもつ体を構成するのか？

4つの数を０，１，α、βとして

ｘ　１　　α　　β

１　１　　α　　β

α　α　　β　　１

β　β　　１　　α

を掛け算表とします。α^-1=β、β^-1=α

これを用いて、足し算表も定めれば

＋　０　１　　α　　β

０　０　１　　α　　β

１　１　０　　β　　α

α　α　β　　０　　１

β　β　α　　１　　０

となって、０，１、α、β=1+αの4つの数の世界の四則演算が定められます。

α^2＝1+α、-1＝1より

α^2+α＋１＝0

β^2+β＋１＝0を満たします。

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