■有限体とガロア体(その101)

【2】8元ガロア体

乗算は(0,0、0)を0要素、(1,0、0)を1要素と定めると

右方向への桁移動によって、

g^1=(0,1,0)

g^2=(0,0,1)

さらに右側で消えた各1に対して、2を法とし2か所の左側の位置に各々の1を加えると

g^3=(1,1,0)

g^4=(0,1,1)

g^5=(1,1,1)

g^6=(1,0,1)

g^7=(1,0,0)=g^0

g^8=(0,1,0)=g^1

などとすることができる。

2進数の誤り訂正符号は8元ガロア体の重要な応用である。

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【5】2^m元ガロア体の原始多項式

m=4の場合はπ(x)=1+x+x^4を用いたが、

m=2の場合、π(x)=1+x+x^2

m=3の場合、π(x)=1+x+x^3

m=4の場合、π(x)=1+x+x^4

m=5の場合、π(x)=1+x^2+x^5

m=6の場合、π(x)=1+x+x^6

を用いることによって実現される。

1+x+x^5はGF(2)上で既約ではなく、(1+x^2+x^3)(1+x+x^2)と因数分解される

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m=3の場合、π(x)=1+x+x^3

g^1=(0,1,0)=x

g^2=(0,0,1)=x^2

さらに右側で消えた各1に対して、2を法とし2か所の左側の位置に各々の1を加えると

g^3=(1,1,0)=1+x=x^3

g^4=(0,1,1)=x+x^2=x^4

g^5=(1,1,1)=1+x+x^2=x^5

g^6=(1,0,1)=1+x^2=x^6

g^7=(1,0,0)=g^0=1

g^8=(0,1,0)=g^1=x

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