■有限体とガロア体(その96)

奇数次(2^m×奇数次)のオイラー方陣はいつでも存在します。

n=素数ベキのとき、互いに直交するn次ラテン方陣は(n-1)個存在する

オイラー方陣が作れないのはn=2,n=6だけである。

オイラー方陣を作るには一連の平行な直線がそれぞれ1点だけで交わることを利用する。

2次のオイラー方陣が存在しないのは、2次のラテン方陣が1個しか存在しないからである。

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【1】2次のラテン方陣

有限体F2=Z/2Z

点は(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)の4点

直線は6本で、

x=0→(0,0),(0,1)を結ぶ

x=1→(1,0),(1,1)を結ぶ

y=0→(0,0),(1,0)を結ぶ

y=1→(0,1),(1,1)を結ぶ

y=1x+0→(0,0),(1,1)を結ぶ

y=1x+1→(0,1),(1,0)を結ぶ

y=1x+0

y=1x+1からラテン方陣が1個作られる。

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【2】3次のラテン方陣

有限体F2=Z/3Z

点は(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)の9点

直線は9本で、

x=0→

x=1→

x=2→からはラテン方陣は作られない。

y=0→

y=1→

y=1→からはラテン方陣は作られない。

y=1x+0→

y=1x+1→

y=1x+2→からラテン方陣が1個作られる。

y=2x+0→

y=2x+1→

y=2x+2→からラテン方陣が1個作られる。

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