今回のコラムでは、有限体上のフェルマー曲線について調べてみることにしました．

『ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^nはｎ≧３のとき正の整数解をもたない．』というのが有名なフェルマー・ワイルズの定理（１９９４年）です．ワイルズはちょうど４０才のときにフェルマーの最終定理を証明し，世界一有名な数学の未解決問題を解決しました．

　しかし，これが解をもつといったら驚かれるかもしれませんね．もちろんこれは架空の話ではありますが，ｍｏｄｐの世界，すなわち，

　　Ｆp＝｛０，１，，・・・，ｐ−２，ｐ−１｝

なる有限体上で考えてみると実際に解をもちますし，そこでは解の存在より解の個数の方が問題になるのです．

とはいってもすべてのｎについて計算することはできませんから，

　　ｘ^3＋ｙ^3＝ｚ^3

に限定することになるのですが・・・．

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　フェルマーの問題：ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^nを有限体Ｆp上で考えてみましょう．ただし，（ｘ，ｙ，ｚ）＝（０，０，０）は除外することにします．

　また，（ｘ，ｙ，ｚ）が解ならば（ｔｘ，ｔｙ，ｔｚ）も解なので，

　　（ｘ，ｙ，ｚ）＝（２ｘ，２ｙ，２ｚ）＝・・・＝（(p-1)ｘ，(p-1)ｙ，(p-1)ｚ）

よりｐ−１個の点は同じ点とみなすことができます．

　すなわち，有限射影平面Ｐ^2（Ｆp）で考えることになるのですが，有限射影平面についてはコラム「群と魔方陣」「球の充填と格子」でも説明したとおりですので省略します．また，解の個数イコール

　　｛（ｘ，ｙ，ｚ）｜ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^n，ｘ，ｙ，ｚはＦpに属する｝

をみたすＰ^2（Ｆp）の点の個数をＮpと書くことにします．

［１］フェルマーの問題はｎ＝１のときにはｘ＋ｙ＝ｚという単なる足し算ですから，ｘとｙにどんな自然数を入れても自然数ｚは必ず存在します．この問題を有限体Ｆp上で考えるとｘはｐ通り，ｙもｐ通りでｚは必ず存在しますから，全部でｐ^2通り，それから（０，０，０）を除いてｐ^2−１通り．同じものがｐ−１組ありますから，

　　Ｎp＝（ｐ^2−１）／（ｐ−１）＝ｐ＋１

が答えになります．

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