x^2=a　(modp)平方剰余となる整数ｘが存在するとき(pがx^2-aを割り切るとき）、aはｐを法とする平方剰余であるといいます。

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オイラー基準の言い換え

aがｐを法とする平方剰余のとき、ｐはa^(p-1)/2-1を割り切る

aがｐを法とする平方剰余でないとき、ｐはa^(p-1)/2+1を割り切る

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第1補充法則

ｐが4で割って1余る素数ならば、-1はFｐの平方数である。

ｐが4で割って3余る素数ならば、-1はFｐの平方数ではない。

たとえば、-1はF41の平方数ではない

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第2補充法則

ｐが8で割って1または7余る素数ならば、2はFｐの平方数である。

ｐが8で割って3または5余る素数ならば、2はFｐの平方数ではない。

たとえば、2はF41の平方数である

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ｐを奇数の素数とします。Fｐの０でない数aについて

平方数・平方数＝平方数

非平方数・非平方数＝平方数

平方数・非平方数＝非平方数

非平方数・平方数＝非平方数

が成り立ちます。

平方剰余の相互法則より

p=1(mod4),q=1(mod4)ならばx^2=q(modp),y^2=p(modq)を満たすx,yは両方存在するか、両方とも存在しない

p=3(mod4),q=3(mod4)ならばx^2=q(modp),y^2=p(modq)を満たすx,yは一方に存在し、もう一方には存在しない

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ガウスは早くからその才能を発揮し、15歳のとき、素数定理を予想しました

17歳のとき、平方剰余の第1補充法則を証明

18歳の時、平方剰余の相互法則を証明（7つの異なる証明を与えた）

19歳で正多角形の作図がフェルマー素数と関係があることを示し、正多角形の作図問題を完全に解決

22歳で代数学の基本定理（すべての代数方程式は複素数の中で解ける）を証明しました

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