■有限体とガロア体(その86)

pを奇数の素数とします。

F5やF7のようにpが小さいときは平方数であるかどうかは容易に見分けられますが、

たとえば、F41では2は平方数でしょうか?

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すぐには答えることができませんが、オイラー基準と使うと平方数であるかを判定できます。

オイラー基準

aが平方数のとき、a^(p-1)/2=1

aが平方数でないとき、a^(p-1)/2=-1

a^(p-1)/2=1ならばaはが平方数である

a^(p-1)/2=-1ならばaは平方数ではない

が成り立つ.

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F11では2^5=32=-1(mod11)→2はF11の平方数ではない。

F41では2^20=?(mod41)

2^10=1024=-1(mod41)

2^20=1(mod41)→2はF41の平方数である。

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