[雑感]

コーシー分布の標本平均値（存在しない？）では、中心極限定理が成り立たないというのは、驚きです。

「中心極限定理は万能」というイメージだったのですが・・・

確率論によれば、有限な平均が存在すれば大数の法則が成り立つことが知られている。

コーシー分布は大数の法則が成り立たない例となっている。

実際、標本平均を求めてみると、おおむね0の近くに集まるがときどき0から大きく離れる。

その理由は極端に０から外れた値が出る確率がそれほど稀ではないからです。

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正規分布とコーシー分布はよく似ているように見えます。しかし、・・・

指数的減衰はどんな代数的減衰よりも速く０に近づく．たとえば，ｘ→∞のとき，裾の重みを比較してみると

　　１／（１＋ｘ^2）＞ｅｘｐ（−ｘ）＞ｅｘｐ（−ｘ^2）→０

　ここで，区間［０，∞）において，指数関数ｅｘｐ（−ｘ）と代数関数ｆ（ｘ）＝１／（ｎ次多項式）の差の最大値λnを考える．

　　λn＝ｍａｘ｜ｅｘｐ（−ｘ）−ｆ（ｘ）｜

　すべての有理関数ｆ（ｘ）を対象として，ｎを大きくしていくと，これを満たす有理関数はどんどん増えていき，それにしたがって，λnの値は小さくなる．このとき，

　　ｌｉｍ（λn）^1/n＝１／３

　　ｌｉｍλn＝１／３^n

になることが知られている．

　すなわち，代数関数の次数がひとつ上がるたびに最大誤差は１／３になり（指数的減衰），近似度は３倍に上昇するという結果である．

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