雨が降った後，空が清らかに晴れてきても空中には無数の小水滴が浮遊している．これに太陽光線が入射すると，光の分散が起こり虹を生ずる．透明でさえあればどのような物質からできていても光の分散は起こる．

　水（屈折率≒４／３）であっても，ガラス（屈折率≒３／２）であっても虹はできるのであるが，反射する球体の屈折率が２以上の場合，たとえばダイヤモンド（屈折率＝２．４２）の場合，虹のできる様子は水滴の場合とはかなり異なってくる．どのような透明体であっても差し支えないわけではなく，水の屈折率が１．３程度であったおかげで，われわれは美しい虹を見ることができるのである．

　さて，虹の形は半円状（滝や散水しているときは弧状）が普通であるが，私は山間の渓谷にかかる吊り橋の上から，円形の虹を見たことがある．とても，神秘的に感じられる光景であった．一般に，虹は２次曲線となるのである．

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【１】君は円い虹を見たか？

　焦線の例としては，コーヒカップの中に太陽光が当たってできるネフロイドという６次曲線

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3−１２（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋４８ｘ^2−６０ｙ^2−６４＝０

がある．

　陽のよく当たる窓辺にコーヒーカップをもっていって，カップの底を覗いてみて欲しい．そこには，ハートマーク状のカスプ−−−Ａ2型のクライン特異点（２次元の単純特異点）をもつ曲線が見えるはずである．ネフロイドは平行光線が円の内側で反射されるときの包絡線である．

　また，カージオイド

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^2−６（ｘ^2＋ｙ^2）＋８ｘ−３＝０

は光が周上の１点から発して円周で反射されたときにできる包絡線（４次曲線）であることがわかっている．

　円の反射による包絡線は一般にはリマソンになるが，光源の位置が無限遠にある場合はネフロイド，円周上にある場合はカージオイド，円の中心にある場合には円の中心そのものになる．

　また，特異点を何度かモノイダル変換して，特異点の解消ができるというのが，広中平祐先生のフィールズ賞受賞の業績である．

　虹の話に戻って，１つの水球に注目すると焦線の集まりは太陽光と平行な中心軸をもつ直円錐をなすことがわかる．これを観測者の眼を中心に考えると，円錐を平面で切った断面の曲線（円錐曲線）が，虹として観察されることになる．

　切り口であるから通常は楕円であるが，まれに水平方向近い断面（牧草地に朝露が降り，そこに太陽光が注ぐときなど）では放物線状，双曲線状の虹が見えることがあるという．

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