2次元標的問題

ボードの中心めがけてダーツを投げて、ボードの当たった場所(x,y)を記録していきます。

レイリー分布はr=(x^2+y^2)^1/2の分布です。

一方、コーシー分布はtanθ=y/xの分布です。すなわち、問題の設定の仕方で分布は異なってきます。

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任意の点に垂直軸のまわりを水平に回転できるような銃を固定し，−π／２≦θ≦π／２の範囲の任意に選ばれた角度で固定した壁に向けて発砲するとき，発砲角度が一様分布にしたがえば，銃弾の命中点の分布は以下の式で表されます．

　tan(θ+Δθ-θ)＝tan(Δθ)={tan(θ+Δθ)-tanθ]/{1+tan(θ+Δθ)tanθ}〜2tanθ/{1+(tanθ)^2}

コーシー分布は左右対称で、０の近くに山ができますが、平均は0ではなく、平均は存在しないのです。

その理由は極端に０から外れた値が出る確率がそれほど稀ではないからです。

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[雑感]

コーシー分布の標本平均値（存在しない？）では、中心極限定理が成り立たないというのは、驚きです。

「中心極限定理は万能」というイメージだったのですが・・・

確率論によれば、有限な平均が存在すれば大数の法則が成り立つことが知られている。

コーシー分布は大数の法則が成り立たない例となっている。

実際、標本平均を求めてみると、おおむね0の近くに集まるがときどき0から大きく離れる。

その理由は極端に０から外れた値が出る確率がそれほど稀ではないからです。

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