ｎが整数のとき，実際にＶnの値を計算してみると，超球の体積はｎ＝５のとき最大８π2／１５＝５．２６３７・・・となり，以後は減少します．

１次元　　２次元　　３次元　　４次元　　５次元　　６次元

　２　　　 3.14　　　4.19　　　4.93　　　5.263　　 5.167

（次元を整数に限らなければ５．２５６次元で最大となり，そのときの体積は5.277･･･である．）

Ｖn-1がわかれば，Ｖnは漸化式：

Ｖn/Ｖn-1=Γ(1/2)Γ{(n+1)/2}/Γ(n/2+1)=B(1/2,(n+1)/2)

によって求めることができますが，この計算は面倒ですから，Ｖn-2との漸化式

Ｖn/Ｖn-2=2π/n

を用いると任意のｎに対して

ｎが奇数であればＶn=2(2π)^((n-1)/2)/n!!

ｎが偶数であればＶn=(2π)^(n/2)/n!!

とも書けることも理解されます．

ｎ→∞のとき

Ｖn/Ｖn-2=2π/n→０

Ｓn-1/Ｓn-3=nＶn/(n-2)Ｖn-2=2π/(n-2)→０

ですから，不思議なことに，単位球面の体積や表面積はｎ→∞のとき０に収束するのです．また，このことから，ｎ次元単位超立方体[-1,1]^nにおいて，単位超球が占める比率は，ｎ＝２であればπ／４(79%)であるが，ｎ＝５のときは16%に下落し，ｎ＝１０となると0.25%になることも理解されます．高次元において，超立方体内に一様分布する標本を考えるとき，低次元の場合とは対照的に，大部分のデータは超球外に位置することになります．

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