マクスウェル，レイリーの後，ミラーが多次元正規分布での原点からのユークリッド距離の確率分布として一般的なχ分布を導いています．ミラーにならって，任意の次元のχ分布を導いてみましょう．

　ｎ次元正規分布は

p(x1,x2,x3,･･･,xn)=1/(2π)n/2σnexp{-(x12+x2+･･･+xn2)/2σ2}

で与えられます．多次元正規分布の場合，低次元の場合とは違って，密度の裾にあたる領域に大部分のデータが存在します．また，ｎ次元ユークリッド空間の点(x1,x2,x3,･･･,xn)は

ｒ>0,0≦θ1,θ2,･･･,θn-2≦π,0≦θn-1≦2πを満たすｒ,θ1,θ2,･･･,θn-1によって，

x1=rcosθ1

x2=rsinθ1cosθ2

x3=rsinθ1sinθ2cosθ3

････････････････････

xn-1=rsinθ1sinθ2･･･sinθn-2cosθn-1

xn=rsinθ1sinθ2･･･sinθn-2sinθn-1

と表すことができます（ただし，ｎ＝２のときは，周知のとおり，ｘ1＝ｒｃｏｓθ1，ｘ2＝ｒｓｉｎθ1とする）．

（ｒ,θ1,θ2,･･･,θn-1）がｎ次元極座標で，そのとき，ヤコビアンD(x1,･･･,xn)/D(r,θ1,･･･,θn-1)は

ｒ^(n-1)sin^(n-2)θ1･･･sin^2θn-3sinθn-2

となりますから，同様にして

ds=sin^(n-2)θ1･･･sin^2θn-3sinθn-2dθ1dθ2･･･dθn-1

dx1dx2･･･dxn=ｒ^(n-1)drds

　ここで，ｎ次元単位超球の表面積をＳn-1=ｎＶnで表すと，(2*π^(n/2))/Γ(n/2)はｎ次元単位超球の表面積であり，

p(x1,x2,x3,･･･,xn)dx1dx2･･･dxn=nVn/(2π)n/2σnexp{-r2/2σ2}r^(n-1)dr1/nVnds

Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)より

p(x1,x2,x3,･･･,xn)dx1dx2･･･dxn=1/(2^(n/2-1)Γ(n/2))σnexp{-r2/2σ２}r^(n-1)dr*Γ(n/2)/(2*π^(n/2))ds

が得られます．したがって，

1/(2^(n/2-1)Γ(n/2))σnexp{-r2/2σ２}r^(n-1)

がχ分布の密度関数となります．

　このような理由から，近年，χ分布は一般化されたレイリー分布（generalized Rayleigh distribution）として論文にも引用されることが多くなっています．χ分布はとくに電気通信分野で広い応用範囲を有して，その分野ではｍ分布とも呼ばれています．

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