■ビュフォンの針の問題(その22)

【2】公式集

 これらの解答を求めて,公式集で「有理式の無限級数」をあたってみました.

  Σ(-∞,∞)1/(n+α)^2=π^2/(sin(πα))^2

この公式ではα≠整数ですから,たとえば,

  α=1/2→ Σ(-∞,∞)1/(n+1/2)^2=π^2=6ζ(2)

  Σ(-∞,∞)1/(n+α)^3=π^3/(tan(πα)(sin(πα))^2)

  Σ(-∞,∞)1/(n+α)^4=π^4/(1/(sin(πα))^4−2/3(sin(πα))^2)

 無限乗積の公式では

  Π(1,∞)(1+α^2/n^2)=sinh(πα)/πα

  Π(1,∞)(1−α^2/n^2)=sin(πα)/πα

  Π(1,∞)(1+α/n)exp(−α/n)=sin(πα)/πα

  Π(1,∞)(1−α/n)exp(α/n)=sin(πα)/πα

  Π(1,∞)cos(α/2^n)=sin(α)/α

  Π(1,∞)cosh(α/2^n)=sinh(α)/α

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

  Σ(-∞,∞)1/(1+n^2)=π/tanh(π)

  Σ(1,∞)1/(1+n^2)=π/2tanh(π)−1/2

と等価の式ですが,

  Σ(1,∞)1/(a^2+n^2)=π/(2atanh(aπ))−1/(2a^2)

  Σ(-∞,∞)1/(a^2+n^2)=π/(atanh(aπ))

  Σ(1,∞)(−1)^nー1/(a^2+n^2)=−π/(2asinh(aπ))+1/(2a^2)

  Σ(-∞,∞)(−1)^n/(a^2+n^2)=π/(asinh(aπ))

 また,これらと等価な公式

  Σ(1,∞)1/(a^2−n^2)=π/(2atan(aπ))−1/(2a^2)

  Σ(-∞,∞)1/(a^2−n^2)=π/(atan(aπ))

  Σ(1,∞)(−1)^nー1/(a^2−n^2)=−π/(2asin(aπ))+1/(2a^2)

  Σ(-∞,∞)(−1)^n/(a^2−n^2)=π/(asin(aπ))

  Σ(-∞,∞)1/(1+n^2)^2=π/2(exp(4π)+4πexp(2π)−1)/(exp(2π)−1)^2

と等価な

  Σ(1,∞)1/(1+a^2n^2)^2=π^2/(2sinh(x/a))^2+π/(4atanh(x/a))−1/2

  Σ(1,∞)1/(1−a^2n^2)^2=π^2/(2sin(x/a))^2+π/(4atan(x/a))−1/2

などがみられましたが,残念ながらこれまでに掲げた以外の本質的にζの香りの漂う公式を探し出すことはできませんでした.

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