【５】コーシー分布の標本中央値の分布

　コーシー分布

　　ｆ（ｘ）＝１／π・α／（α^2＋（ｘ−μ）^2）

　　Ｆ（ｘ）＝1/π[arctan(x-μ)/α]+1/2

より，中央値x(m+1)の確率密度関数は

　　g(x)=(2m+1)!/(m!)2π2^2m{1-(2/πarctan(x-μ)/α)2}^mα／（α^2＋（ｘ−μ）^2）

となります．

　長い積分計算の後，

　　期待値E[x(m+1)]=μ

　　分散V[x(m+1)]=α^2/(n+2)(π/2)^2{1+2/(n+4)(π/2)^2+3/(n+4)(n+6)(π/2)^4･･･}

ｎが十分大きいところでは

　　V[x(m+1)]=α^2/(n+2)(π/2)^2

これにより標本中央値の分散は標本の大きさｎを大きくすると小さくなることが示されました．コーシー分布に従う変数については，標本平均値に関する中心極限定理が成り立たないわけですから，まことに注目すべきことです．

　また，コーシー分布の中央値の分布は漸近的に平均μ，分散π^2α^2/4nの正規分布になることも導き出されます．これはα^2/(n+2)(π/2)^2と漸近的に等しくなります．したがって，標本中央値に関する極限定理「母集団のメジアンをμmとすると，メジアンの分布は漸近的に正規分布Ｎ（μm，１／{4n[f(μm)]^2}）になる」という式は簡単な推定方式ながら，かなりよい推定量を与えてくれることがわかります．

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