【２】離散コーシー分布

　コーシー分布を取り上げましたが，どちらも裾の重い分布で，前者の累積分布関数は逆正接関数，後者の累積分布関数は双曲線正接関数で表されるという違いを示したかったからです．

　この節では，離散コーシー分布

　　ｆ（ｘ）＝Ｃ・１／（１＋ｎ^2）　　　（−∞＜ｎ＜∞）

について考えてみますが，

　　Σ(-∞,∞)１／（１＋ｎ^2）

　＝π（１＋ｅｘｐ（−２π））／（１−ｅｘｐ（−２π））

　＝π／ｔａｎｈ（π）

より，

　　Ｃ＝ｔａｎｈ（π）／π

となります．すなわち，連続コーシー分布の１／πがｔａｎｈ（π）／πに変わった形をしているというわけです．

　　Σ(-∞,∞)１／（１＋ｎ^2）＝π／ｔａｎｈ（π）

や

　　Σ(-∞,∞)１／（ｎ＋α）^2＝π^2／（ｓｉｎ（πａ））^2

　　α＝１／２→　Σ(-∞,∞)１／（ｎ＋１／２）^2＝π^2＝６ζ(2)

はパーセバルの等式の応用として得られる公式で，とくに

　　Σ(-∞,∞)１／（１＋ｎ^2）＝π／ｔａｎｈ（π）

　　Σ(-∞,∞)（−１）^n／（１＋ｎ^2）＝π／ｓｉｎｈ（π）

は，ゼータ関数の値を直接表すものではないもののゼータの香りが漂う美しい式と考えられています．

　この結果をさらに一般化すると

　　Σ(-∞,∞)１／（（α／２π）^2＋ｎ^2）＝π（２π／α）／ｔａｎｈ（α／２）

　　α＝２π→Σ(-∞,∞)１／（１＋ｎ^2）＝π／ｔａｎｈ（π）

　　α＝π→　Σ(-∞,∞)１／（１／４＋ｎ^2）＝２π／ｔａｎｈ（π／２）

を得ることができます．

　見方によっては逆正接関数と双曲線正接関数の間の変換式になっているというわけです．ゼータ関数の話が出てきたついでに・・・

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［補１］ゼータ関数ζ(s)＝Σ1/n^sについて，ζ(1)は発散し，オイラーはζ(2)＝π^2／６であることを証明した．すべての偶数ｓに対しζ(s)の値は無理数であるが，アペリは１９７９年にζ(3)が無理数であることを証明した．その後，２０００年にリボールが無限個の奇数ｓに対しζ(s)が無理数であることを証明した．２００１年にリボールはこの結果を精密化し，ζ(5)からζ(21)までの奇数ｓのうち少なくとも１つのｓについて無理数であることを証明した．同年，ズディリンはこの範囲をζ(5)からζ(11)までに狭めることに成功した．

［補２］ワイルスがフェルマー予想を証明したときのほどの興奮はなく解かれた予想もある．たとえば，カタラン予想がそうである．カタラン予想の主張は

　　ｘ^p−ｙ^q＝１

の整数解が（ｘ，ｙ，ｐ，ｑ）＝（３，２，２，３）だけであるということ，すなわち，８と９だけが唯一連続するベキ乗数であるということである．

　ベルゲンは１３２０年頃，

　　３^p−２^q＝１

ならば（ｐ，ｑ）＝（２，３）であることを証明した．１７３４年，オイラーは，

　　ｘ^2−ｙ^3＝１

ならば（ｘ，ｙ）＝（３，２）であることを示した．オイラー以後，カタラン予想の一般的な証明は多くの数学者たちの挑戦を退けてきたが，２００２年，ミハイレスクがすべてを解決した．

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