［まとめ］長さ１の線分を１８０°回転してもとと重ねることができるような星状領域の最小面積として知られている最良の値は

　　Ｓn→（５−２√２）π／２４（.2842582246･･･）＜π／１１（.285599）

であり，（５−２√２）π／２４は「掛谷定数」として知られています．

また，ベシコビッチ集合は簡単に高次元空間に拡張できますが，掛谷の問題の一般化はきわめて難しい問題を引き起こすため，まだ解かれていません．

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　なお、正三角形の中央をくりぬいたシェルピンスキーのガスケットは面積０の図形であるが、そのフラクタル次元は１．５８５である。立方体の中央をくりぬいたメンガーのスポンジは体積０の図形であるが、そのフラクタル次元は２．７３である。しかしながら…

　ベシコヴィッチ集合はあらゆる方向の針を含む面積０の図形であるが，そのフラクタル次元は２であることがディヴィスによって証明されている（１９７１年）．

　３次元空間のあらゆる方向の針を含む体積０の図形のフラクタル次元は３であると予想されている（カッツ、ラバ、タオにより２．５より大きいことが証明されている。２０００年）．

　一般に，ｎ次元空間のあらゆる方向の針を含む面積０の図形のフラクタル次元はｎであると予想されている．

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