１９１７年，掛谷宗一は「長さが１である線分を１回転させるのに必要な最小面積の図形は何か」という問題を提出しました．

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すぐに思い浮かぶ答えは、直径1の円である。

　（答）ＡＢを中点Ｏの回りに３６０°回転した円：面積π／４=0.785398

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　平面における定幅図形（いかなる方向に関しても等しい幅をもっている図形）は円だけではなく，そのような形状は無数にあります．定幅図形の中で最大の面積をもつものは円であり，最小の面積をもつものはルーローの三角形です（ブラシュケ・ルベーグ，１９１４年）．

　（答）ルーローの三角形（正三角形の各頂点を中心として他の２頂点を通る円弧を描いてできる定幅図形）：面積（π−√３）／２=0.704770

掛谷も、最初はルーローの三角形が答えだと考えていました。

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　実は凸領域となる最小の領域は，高さが１の正三角形（面積√３／３）であることが藤原松三郎によって予想され，１９２１年，パル（ハンガリー）によって証明されています．

　（答）高さが１の正三角形（面積√３／３）=0.5773502

これで、ずいぶん面積が小さくなりました

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