ｔａｎ４５°＝１であるが，

［Ｑ］ｔａｎａ°＝１／２，ｔａｎｂ°＝１／４

となるａ，ｂは有理数だろうか？

［Ａ］ａもｂも無理数．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［証１］ａが有理数ならある整数ｎに対してｎａは３６０の倍数になる．また，ｎａは（２＋ｉ）^nの偏角で，（２＋ｉ）^nは実数．したがって，（２＋ｉ）^nは共約複素数（２−ｉ）^nに等しい．

　しかし，２＋ｉと２−ｉは５の異なるガウス素数であり，素因数分解の一意性に反する．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［証２］ｂが有理数ならある整数ｎに対してｎａは３６０の倍数になる．また，ｎａは（４＋ｉ）^nの偏角で，（４＋ｉ）^nは実数．したがって，（４＋ｉ）^nは共約複素数（４−ｉ）^nに等しい．

　しかし，４＋ｉと４−ｉは１７の異なるガウス素数であり，素因数分解の一意性に反する．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝