■代数的数(その7)

 無理数同士の和が無理数になるとは限らない.例えば,√2と2−√2の和を考えればよい.・・・

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[1]αが代数的数,βが超越数ならば

  α+β,αβは超越数

[2]ゲルフォント・シュナイダーの定理

  αが代数的数,b>0が有理数,β=i√bとする.

  α^βは超越数

 例)オイラーの等式:e^iπ+1=0より

  e^π=(e^iπ)^-i=(−1)^-i → 超越数

[3]ゲルフォント・シュナイダーの定理

  αとβが代数的数,βが有理数でないとする.

  α^βは超越数

 例)2^√2 → 超越数

[4]リンデマン・ワイエルシュトラスの定理

  αkは相異なる代数的数,Σβke^αk=β1e^α1+β2e^α2+・・・+βne^αn=0ならば,β1=β2=・・・=βn=0

にも,広い帰結が知られている.

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