[Q]正四面体の4面上に各1個、 計4個の点を配置、それらを結んで、四角形を作る

ただし、四角形は正方形であり、かつ、正四面体の中心を通らなければならない

[A]

正四面体の6辺中、4辺の中点を通る中心断面は正方形になる

正四面体の4面上の4個の点を結んで、正方形を無数に構成することができる

4点が正四面体の辺の中点上にあるとき、正方形は最大になる

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

それでは、この問題の高次元版

[Q}4次元正5胞体の5胞上に各1個、 計5個の点を配置.それらを結んで、正5胞体の中心を通る正五角形を作ることは可能か？

[A]

正5胞体の5胞上の5点を結んで、正五角形を無数につくることができる

正5胞体の10面中、5面上の5点を結んで、最大の正五角形をつくることができる

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

この問題のさらなる一般化

[Q}n次元正単体の(n+1)個のファセット上に各1個、 計(n+1)個の点を配置、それらを結んで、 n次元正単体の中心を通る正(n+1)角形を作ることは可能か？

を考えてみると

[定理]n次元正単体のn-1次元面(面数:n+1)のn+1個の定点を通る中心断面上の点を結んで、正n+1角形を無数に構成することができる

[定理]n次元正単体のn-2次元面(面数:n(n+1)/2)のn+1個の定点を通る中心断面上の点を結んで、最大の正n+1角形を構成することができる

が成り立つことが予想される。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

すこし補足しておきたいのであるが、

n+1個の定点をn-1次元面上に置くことは可能であるが、一意には決まらない（不定）

n+1個の定点をn-3次元面上に置くことはできない（不能）

あとはn-2次元面上のn+1個の定点の構成法を示せばよいことになる

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝