■エイリアンの誕生日(その1)

ハルモスの近似公式は,ふたりが同じ誕生日である確率が50%になるためには,cを定数として

  c=(−2log(0.5))^1/2〜1.18

  n0>c×(365)^1/2〜22.5

というものである.この事実は1年が365日であることとかかわっていて,全宇宙的な数学的性質ではない.もし1年が10^20日だとすると

  n>1.18×(10^20)^1/2〜1.18×10^10

を超えないと二人が同じ誕生日となる確率は50%を超えないことがわかる.これは地球の人口よりもはるかに多くなる.

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 もし1年の長さが1/2だったら,二人の誕生日が同じになる確率が50%を超えるためには,

  n>c×(365/2)^1/2=n0/√2

もし1年の長さが1/4だったら,二人の誕生日が同じになる確率が50%を超えるためには,

  n>c×(365/4)^1/2=n0/2

となる.

d0=365とする.d=4d0,2d0,d0/2,d0/4の場合を扱ってみると,

                   ハルモスの近似公式

  d=4d0のとき,   n=46    45

  d=2d0のとき,   n=33    32

  d=d0のとき,    n=23    23

  d=d0/2のとき,  n=17    16

  d=d0/4のとき,  n=12    12

 ハルモスの近似公式が十分正確であることがわかるだろう.

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