[Q]立方体に開けた穴に、それより大きな立方体を通すことができるか？

立方体の切り口が正六角形になる主対角線方向、つまり、立方体の辺の中点を通るような切り口を考えます。

この正六角形の断面に内接する最大の正方形の1辺の長さは

(3√2-√6)/2=0.8965754

もとの立方体の1辺の長さ1より小さくなってしまいました。残念！

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　ルーパート王子が，与えられた立方体を通り抜ける最大の立方体を求めよという問題を出した．つまり立方体の正方形状のトンネルを掘ってなるべく大きな立方体を通するわけであるから，立方体の最大正方形断面を求めよという問題と同値である．

　立方体の８個の頂点を（±１，±１，±１）とし，立方体の主対角線と平行ではない平面：ｘ＋ｙ／２＋ｚ＝０で切った切り口を求めると，

　　（−１／２，−１，１）

　　（−１，１，１／２）

　　（１／２，１，−１）

　　（１，−１，−１／２）

　これらは１辺の長さ３√２／２の正方形となる．１辺の長さを１にすると

　　３√２／４＝１．０６０６６０・・・

　これは立方体に１辺の長さより少し長く，いいかえるとこの少し大きい立方体が元の立方体を貫通するのである

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　［参］不思議おもしろ幾何学事典，朝倉書店

によると，ルーパート王子はイギリスのチャールズ１世の甥で，イギリス内戦のときは王党軍の指揮者であったという．すなわち，１７世紀のイギリス軍隊の指揮者である一方，科学者としても活躍した．

　この問題を解いたのはニューランドで，ルーパート王子が問題を出してから１００年以上も後のことだった．トンネルの軸はもとの立方体の主対角線と平行ではない．元の立方体の辺は１：３および３：１３に内分されることになる．

　立方体が通過する際，立方体が入っていくところは八角形，出ていくところは別の八角形になる．合計１０辺を通過することになり，通過しない辺は２辺ある．

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ニューランドのアイデアを見てみましょう。

まず各辺を1:3に分けるような4点をとると、この四角形は正方形をなすというのがポイントとなります。（正方形になる比率は1：3だけです）

この正方形の1辺の長さが

　　３√２／４＝１．０６０６６０・・・

となり、1より大きくなるのです。

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4点の座標は

A(x,0,0)

D(1,1-x,0)

F((0,x,1)

G(1-x,1,1)

AD^2=2(x-1)^2=FG^2

AF^2=2x^2+1=DG^2

2(x-1)^2=2x^2+1

-4x+2=1

x=1/4、つまり,各辺を1:3に分けるような4点をとる

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