４ｎ＋３型自然数Ｎの素因数の少なくともひとつは４ｎ＋３型素数である。

(証)

すべて４ｎ＋１型素数であるとする。

(4a+1)(4b+1)=4(4ab+a+b)+1

４ｎ＋３型自然数Ｎであることに矛盾する

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　４ｎ＋３型素数は無数に存在する

(証)

４ｎ＋３型素数は有限個3，p1,p2,p3,・・・,pkしかないと仮定して矛盾を導き出す。

Ｎ＝4・p1p2p3・・・pk+3とおく。

Ｎが素数であれば矛盾。→Ｎは素数でない

4・p1p2p3・・・pkは3では割り切れない

3はp1,p2,p3,・・・,pkのいずれでも割り切れない

Ｎはp1,p2,p3,・・・,pkのいずれでも割り切れない

→これら以外に４ｎ＋３型素数が存在することになる→矛盾

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