ｐは10とも互いに素であるとする。1/ｐの循環節の長さをｄとする。10^d-１を割り切る最大べき乗が1/ｐ^aであるとき、

[1]1/ｐ、1/ｐ＾2，・・・、1/ｐ＾aの循環節の長さはｄ

[2]1/ｐ＾a+kの循環節の長さはｄp^kとなる。

たとえば、1/3,1/9,1/27,1/81,1/243の循環節の長さは1，1，3，9，27となる。

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1/81の循環節は012345679であり、8を除く9個の数字が順番に並んでいる。このとき

012345679・1=012345679・・・8以外の数字が並ぶ

012345679・2=024691238・・・7以外の数字が並ぶ

012345679・4=049382716・・・5以外の数字が並ぶ

012345679・5=061728395・・・4以外の数字が並ぶ

012345679・7=086419753・・・2以外の数字が並ぶ

012345679・8=098765432・・・1以外の数字が並ぶ

012345679・16=197530864・・・2以外の数字が並ぶ

012345679・17=209876543・・・1以外の数字が並ぶ

012345679・19=234567901・・・8以外の数字が並ぶ

一般に

012345679・（81以下で81と互いに素な自然数→ひとつの数を除いて0から9までの数が1回ずる現れる。

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ラグランジュの定理より

a/mの既約分数の個数＝（循環節の種類)・（循環節の長さ)

a/mの既約分数の個数：81-（81以下の3の倍数)＝81-27＝54

循環節の長さ：9

より、（循環節の種類)＝6

それが、

012345679・1=012345679・・・8以外の数字が並ぶ

012345679・2=024691238・・・7以外の数字が並ぶ

012345679・4=049382716・・・5以外の数字が並ぶ

012345679・5=061728395・・・4以外の数字が並ぶ

012345679・7=086419753・・・2以外の数字が並ぶ

012345679・8=098765432・・・1以外の数字が並ぶ

に相当するのであるが

r=1,2,34,5,7,8に対して

ｒ/81の属するグループは初項ｒ、公差9の等差数列となる。

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