1/13の循環節076923に対して、数値実験してみましょう

[1]

076923・1=076923

076923・3=230769

076923・4=307692

076923・9=692307

076923・10=769230

076923・12=923076・・・076923を巡回させた数になっています。

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一方、2/13の循環節153846に対して、数値実験してみましょう

[2]

076923・2=153846

076923・5=384615

076923・6=461538

076923・7=538461

076923・8=615384

076923・11=846153・・・1538463を巡回させた数になっています。

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076923・2=153846→[2]

153846・2=307692→[1]

307692・2=615384→[2]

615384・2-999999=230769→[1]

230769・2=461538→[2]

461578・2=923076→[1] ・・・→[2]→[1]→[2]を巡回します。

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これは2・10^n/13の余りが2に等しくなるような最小の自然数ｎと

2・10^n/13の余りが2に等しくなるような最小の自然数ｎは等しくなる。

すなわち、1/13の循環節の長さと2/13の循環節の長さがともに6となることを意味していて、

一般に、

ｐを2でも5でもない素数、aをp未満の自然数とするとき、

a/pの循環節の長さは10^n-1を割り切る最小の自然数になる。循環節の長さはaに寄らず一定である。

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2^n/13=整数+k/13

において、ｋが偶数のとき[1]、ｋが奇数のとき[2]になることがわかります。

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p=13に対して

循環節の長さ6

循環節の種類2,([1]+[2])

ですから、さらに

ｐを2でも5でもない素数とする。

p-1=循環節の長さ×循環節の種類が成り立つことがわかります

すなわち、循環節の長さはp-1の約数であることがわかります（ラグランジュの定理）。

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