１４２８５７を2等分して足し合わせると９が並びます。

　１４２＋８５７＝９９９

3等分して足し合わせても９が並びます。

　１４＋２８＋５７＝９９

６等分して足し合わせると

　１＋４＋２＋８＋５＋７＝２７

９にはなりませんが、２＋７＝９に関係していることがわかります。

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循環節１４２８５７を巡回させた数を2等分して足し合わせても９が並びます。

　２８５＋７１４＝９９９

　４２８＋５７１＝９９９

　５７１＋４２８＝９９９

　７１４＋２８５＝９９９

　８５７＋１４２＝９９９

これは

１＋８＝９

４＋５＝９

２＋７＝９

において繰上りが起こらないからです。

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1/7の循環節でも

05882352+94117647＝99999999

しかし、この現象はダイヤル数特有のものではなく、1/11の循環節09については

0+9＝9

1/13の循環節076923については

076+923＝999

と1/ｐの循環節の長さｐ-1が偶数であればよいことになります。

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循環節１４２８５７を巡回させた数を3等分して足し合わせると９が並ぶとはかぎりません。

　２８＋５７＋１４＝９９

　４２＋８５＋７１＝１９８

　５７＋１４＋２８＝９９

　７１＋４２＋８５＝１９８

　８５＋７１＋４２＝１９８

しかし、和は９９か１９８＝９９×２になります。

ここでは繰上りがおこっているからです。

1/ｐの循環節が3等分できれば3等分の和には９が並ぶ

1/7→　２８＋５７＋１４＝９９

1/13→　０７＋６９＋２３＝９９

1/19→　０５２６３１＋５７８９４７＋３６８４２１＝９９９９９９

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1/13の循環節076923に対して、数値実験してみましょう

[1]

076923・1=076923

076923・3=230769

076923・4=307692

076923・9=692307

076923・10=769230

076923・12=923076・・・076923を巡回させた数になっています。

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一方、2/13の循環節153846に対して、数値実験してみましょう

[2]

076923・2=153846

076923・5=384615

076923・6=461538

076923・7=538461

076923・8=615384

076923・11=846153・・・1538463を巡回させた数になっています。

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076923・2=153846→[2]

153846・2=307692→[1]

307692・2=615384→[2]

615384・2-999999=230769→[1]

230769・2=461538→[2]

461578・2=923076→[1] ・・・→[2]→[1]→[2]を巡回します。

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これは2・10^n/13の余りが2に等しくなるような最小の自然数ｎと

2・10^n/13の余りが2に等しくなるような最小の自然数ｎは等しくなる。

すなわち、1/13の循環節の長さと2/13の循環節の長さがともに6となることを意味していて、

一般に、

ｐを2でも5でもない素数、aをp未満の自然数とするとき、

a/pの循環節の長さは10^n-1を割り切る最小の自然数になる。循環節の長さはaに寄らず一定である。

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