１４２８５７を2等分して足し合わせると９が並びます。

　１４２＋８５７＝９９９

3等分して足し合わせても９が並びます。

　１４＋２８＋５７＝９９

６等分して足し合わせると

　１＋４＋２＋８＋５＋７＝２７

９にはなりませんが、２＋７＝９に関係していることがわかります。

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循環節１４２８５７を巡回させた数を2等分して足し合わせても９が並びます。

　２８５＋７１４＝９９９

　４２８＋５７１＝９９９

　５７１＋４２８＝９９９

　７１４＋２８５＝９９９

　８５７＋１４２＝９９９

これは

１＋８＝９

４＋５＝９

２＋７＝９

において繰上りが起こらないからです。

この2等分和の性質はミディの定理(1836年)と呼ばれています。

2等分和の本質は7は10＾3+1を割り切ることにあります。（その７１）

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1/7の循環節でも

05882352+94117647＝99999999

しかし、この現象はダイヤル数特有のものではなく、1/11の循環節09については

0+9＝9

1/13の循環節076923については

076+923＝999

と1/ｐの循環節の長さｐ-1が偶数であればよいことになります。

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循環節１４２８５７を巡回させた数を3等分して足し合わせると９が並ぶとはかぎりません。

　２８＋５７＋１４＝９９

　４２＋８５＋７１＝１９８

　５７＋１４＋２８＝９９

　７１＋４２＋８５＝１９８

　８５＋７１＋４２＝１９８

しかし、和は９９か１９８＝９９×２になります。

ここでは繰上りがおこっているからです。

1/ｐの循環節が3等分できれば3等分の和には９が並ぶ

1/7→　２８＋５７＋１４＝９９

1/13→　０７＋６９＋２３＝９９

1/19→　０５２６３１＋５７８９４７＋３６８４２１＝９９９９９９

1/ｐの循環節の長さを3ｍとします。

3等分和の本質はｐは10＾2m+10^m+1を割り切ることにあります。ギンスベルクの定理（2004年)

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