有限小数はa/10^eと分数で表される。

1/ｐが有限小数になるのは、p=2,5に限られる。2，5は10を割り切るからである。

循環小数はa/(10^d-1) と分数で表される。

ｐを2,3,5でない素数とする

1/ｐ＝a/(10^d-1)

pa=10^d-1・・・右辺は9の倍数

ｐが3でないのは9は循環節aを割り切るからである。

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ｐを2でも5でもない素数とする。1/ｐは循環小数で表されるが循環節の長さｄは10^n-１を割り切る最小の自然数ｎに等しい。

たとえば、

ｎ=1のとき、10＾1-１＝９＝３＾2→循環節の長さが1の分数は1/3

ｎ=2のとき、10＾2-１＝９９＝３＾2・１１→循環節の長さが２の分数は1/１１

ｎ=3のとき、10＾3-１＝９９９＝３＾3・３７→循環節の長さが３の分数は1/３７

ｎ=4のとき、10＾4-１＝９９９９＝３＾2・１１・１０１→循環節の長さが4の分数は1/１０１

ｎ=5のとき、10＾5-１＝９９９９９＝３＾2・４１・２７１→循環節の長さが5の分数は1/４１と1/２７１

ｎ=6のとき、10＾6-１＝９９９９９９＝３＾3・７・１１・１３・３７→循環節の長さが6の分数は1/７と1/１３

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