【１】ファウルハーバーの定理（四平方の定理）

　辺（ｐ，ｑ，ｒ）が１点において直交する四面体において，３つの面の面積をａ，ｂ，ｃ，斜面の面積をｄとすると

　　（△ＡＢＣ）^2＝（△ＯＡＢ）^2＋（△ＯＢＣ）^2＋（△ＯＣＡ）

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｄ^2

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【２】ファウルハーバーの定理の証明

　斜面の方程式は

　　ｘ／ｐ＋ｙ／ｑ＋ｚ／ｒ＝１

したがって，原点（０，０，０）から斜面までの距離は

　　１／（１／ｐ^2＋１／ｑ^2＋１／ｒ^2）^1/2

　四面体の体積をＶとすると

　　３Ｖ＝ｄ／（１／ｐ^2＋１／ｑ^2＋１／ｒ^2）^1/2＝ａｐ＝ｂｑ＝ｃｒ＝ｐｑｒ

ｄ^2＝（ｐｑｒ）^2・（１／ｐ^2＋１／ｑ^2＋１／ｒ^2）

＝（ｑｒ）^2＋（ｒｐ）^2＋）ｐｑ）^2

＝ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2

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残念ながら一定となるのは切片の平方和であって、接平面の面積ではない

切片の平方和ｐ^2+ｑ^2+ｒ^2

接平面の面積ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝（ｑｒ）^2＋（ｒｐ）^2＋(ｐｑ）^2

接平面の周長は2(ｐ^2+ｑ^2+ｒ^2)

より、接平面の周長は一定である

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接点を(x,x,x)とする。

3x^2/3=a^2/3x,27x^2~a^2,x=a/√27

切片の平方和はa^2となって一定である

3p^2=a^2,p=a/√3

接平面の面積は

d^2=3p^4,d=p^2/√3=a^2/3√3

３次元アステロイドの第1象限の表面積はこれより大きい。

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