【１】３次元アステロイドの表面積

　アステロイドを拡張する方向としては，ひとつには次元を増すこと，もうひとつは尖点数を変えることが考えられます．アステロイドの次元を増すと，３次元アステロイド

　　ｘ^2/3 ＋ｙ^2/3 ＋ｚ^2/3 ＝ａ^2/3

となりますが，この図形は６つの尖点を持っています．

　ところで，アステロイドの表面積はなかなか解けない問題として，悪名高いものです．ベータ関数を除いてはせいぜい初等関数がでてくるだけなのに，置換積分を何度も行っているうちに，そのつど係数が長くなってしまい，前途多難．−−−計算の原理は難しくはなく，私も解決に至るシナリオ，ストーリーはわかっているのですが，いくら手計算しても「解析学大要」養賢堂と答えが合いません．

　具体的な計算の方法までわかっているのに，答えが合わない．計算というのは不可解なものです．そこで，話を２次元アステロイド

　　ｘ^2/3 ＋ｙ^2/3 ＝ａ^2/3

に戻して，その周長Ｌ・面積Ａ・回転体の表面積Ｓ・回転体の体積Ｖを計算してみましょう

　　Ｌ＝∫｛１＋（ｙ’）^2｝^1/2ｄｘ

　　Ａ＝∫ｙｄｘ

　　Ｓ＝２π∫ｙ｛１＋（ｙ’）^2｝^1/2ｄｘ

　　Ｖ＝π∫ｙ^2ｄｘ

　これらの積分は，

　　ｘ＝ａｃｏｓ^3θ

　　ｙ＝ａｓｉｎ^3θ

とパラメトライズすることによって，いずれも

　　∫ｓｉｎ^mθｃｏｓ^nθｄθ

に帰着します．この積分は，一般には，ベータ関数

　　Ｂ（ｘ，ｙ）＝２∫(0-π/2)ｓｉｎ^(2x-1)θｃｏｓ^(2y-1)θｄθ

　　　　　　　　＝∫(0-1)ｔ^x（１−ｔ）^yｄｔ

ですが，例えば

　　∫ｓｉｎ^4θｃｏｓθｄθ＝ｓｉｎ^5θ／５＋Ｃ

のように高校レベルで解けるものもあります．

　計算の結果，

　　Ｌ＝６ａ

　　Ａ＝３／８πａ^2・・・17/12πａ^2が正しい

　　Ｓ＝１２／５πａ^2

　　Ｖ＝３２／１０５πａ^3・・・24/70πａ^3が正しい

が得られました．ただし，この数値は筆者が数式処理ソフトを用いずに，手計算で求めた値ですから，信頼率はかなり低いと思われます．読者諸賢の検算をお願いいたします．

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